Esboce a curva e calcule a área determinada por ela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a curva definida por
e calcular a área que ela envolve. A gente vai precisar usar conceitos de coordenadas polares e integração para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essa curva se parece. A equação está em coordenadas polares, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo do
. O termo
sugere que a curva terá simetria e pode ter mais de uma pétala.
Passo 3
Para esboçar a curva, vamos calcular alguns valores de
para diferentes valores de
:
-
Quando
: -
Quando
: -
Quando
: -
Quando
: -
Quando
:
Plotando esses pontos e outros entre eles, a curva vai formar uma espécie de pétalas simétricas ao redor da origem.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área dessa curva. A fórmula para a área
em coordenadas polares é:
Onde
e
são os limites de integração que cobrem uma volta completa da curva.
Passo 5
Substituindo
pela nossa equação:
Vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
-
-
(Pois a integral deem período completo é zero) -
Para integrar, usamos a identidade trigonométrica: Então,A integral fica:
Passo 7
Agora, somando todas as integrais:
Resposta
A área determinada pela curva
é
unidades de área.