Esboce a curva e calcule a área determinada por ela.
r = 2 + cos(2 θ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a curva definida por e calcular a área que ela envolve. A gente vai precisar usar conceitos de coordenadas polares e integração para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essa curva se parece. A equação está em coordenadas polares, onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo do . O termo sugere que a curva terá simetria e pode ter mais de uma pétala.

Passo 3

Para esboçar a curva, vamos calcular alguns valores de para diferentes valores de :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Plotando esses pontos e outros entre eles, a curva vai formar uma espécie de pétalas simétricas ao redor da origem.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área dessa curva. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Onde e são os limites de integração que cobrem uma volta completa da curva.

Passo 5

Substituindo pela nossa equação:
Vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:

  1. (Pois a integral de em período completo é zero)

  2. Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
    Então,
    A integral fica:

Passo 7

Agora, somando todas as integrais:

Resposta

A área determinada pela curva é unidades de área.

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