Encontre a área da região dentro de um laço da curva.
r = 2 cos(4 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área de uma região dentro de um laço da curva dada pela equação polar . Vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a forma da curva . Essa é uma equação de uma rosa com 8 pétalas, já que o coeficiente de é 4 e é multiplicado por 2. Cada pétala corresponde a uma variação específica do ângulo .

Passo 3

Para encontrar a área de uma única pétala (ou laço), usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Á
Onde e são os limites de integração que correspondem a uma pétala completa.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para uma pétala. Observando a função , percebemos que a pétala se completa quando varia de 0 a . Isso porque a função completa um ciclo completo de 8 pétalas quando varia de 0 a .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da área:
Á

Passo 6

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
Á

Resposta

A área da região dentro de um laço da curva é unidades de área.

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