Encontre a área da região dentro de um laço da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área de uma região dentro de um laço da curva dada pela equação polar . Vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a forma da curva . Essa é uma equação de uma rosa com 8 pétalas, já que o coeficiente de é 4 e é multiplicado por 2. Cada pétala corresponde a uma variação específica do ângulo .
Passo 3
Para encontrar a área de uma única pétala (ou laço), usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Onde e são os limites de integração que correspondem a uma pétala completa.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para uma pétala. Observando a função , percebemos que a pétala se completa quando varia de 0 a . Isso porque a função completa um ciclo completo de 8 pétalas quando varia de 0 a .
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 6
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Á
Resposta
A área da região dentro de um laço da curva é unidades de área.