Considere a sequência
cujo termo geral é
. Mostre que
, para todo
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por
. O objetivo é mostrar que
para todo número natural
e também calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Para isso, vamos precisar entender de sequências, fatoriais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O fatorial de
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Aqui, estamos dividindo o fatorial de
por
elevado a
. Queremos mostrar que esse valor é sempre maior que 0 e menor ou igual a
.
Passo 4
Para mostrar que
, basta observar que tanto o numerador
quanto o denominador
são sempre positivos para todo
natural. Logo, a fração inteira é positiva.
Passo 5
Agora, vamos provar que
. Sabemos que:
E:
Observe que cada termo no numerador
é menor ou igual a
. Então, podemos dizer que:
Portanto:
Mas queremos melhorar isso para
. Observando que:
Cada fração
(onde
vai de 1 a
) é menor ou igual a 1, então o produto inteiro será menor ou igual a
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce muito rápido, mas
cresce ainda mais rápido. Para ver isso, podemos usar a propriedade de que para cada termo
no produto de
, à medida que
aumenta, esses termos tendem a 0.
Portanto:
Resposta
Para todo
, temos que
e
.