Considere a sequência (xn) cujo termo geral é xn=n!n^n. Mostre que 0, para todo n in N. Calcule lim n +infty xn.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por . O objetivo é mostrar que para todo número natural e também calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Para isso, vamos precisar entender de sequências, fatoriais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O fatorial de , representado por , é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até . Por exemplo, .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Aqui, estamos dividindo o fatorial de por elevado a . Queremos mostrar que esse valor é sempre maior que 0 e menor ou igual a .

Passo 4

Para mostrar que , basta observar que tanto o numerador quanto o denominador são sempre positivos para todo natural. Logo, a fração inteira é positiva.

Passo 5

Agora, vamos provar que n! = 1 times 2 times 3 times dots times n . Sabemos que:
n^n = n times n times n times dots times n
E:
n! <= n times n times n times dots times n = n^n (n vezes)
Observe que cada termo no numerador n!n^n <= n^nn^n = 1 é menor ou igual a xn = n!n^n = 1n times 2n times 3n times dots times nn . Então, podemos dizer que:
Portanto:
Mas queremos melhorar isso para . Observando que:
Cada fração (onde vai de 1 a ) é menor ou igual a 1, então o produto inteiro será menor ou igual a .

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de limn to +infty n!n^n quando limn to +infty xn = 0 tende ao infinito:
Sabemos que cresce muito rápido, mas cresce ainda mais rápido. Para ver isso, podemos usar a propriedade de que para cada termo no produto de , à medida que aumenta, esses termos tendem a 0.
Portanto:

Resposta

Para todo , temos que e .

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