Seja lang<=,$\rangle um produto interno no espaço vetorial V e assuma que rang<= um produto interno no espaço vetorial V e assuma que seja uma norma induzida por seja uma norma induzida por , , as seguintes igualdades:
(Identidade do Paralelogramo) as seguintes igualdades: (Identidade do Para<=logramo) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial com um produto interno e uma norma que vem desse produto interno. O exercício pede pra gente mostrar a Identidade do Paralelogramo, que relaciona as normas de combinações de dois vetores e . Vamos precisar usar as propriedades do produto interno para expandir as normas e chegar na igualdade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor |w| = raizlang<= w, w rang<= é definida pelo produto interno:
Então, para calcular e , vamos expandir esses quadrados usando o produto interno.

Passo 3

Vamos começar expandindo |u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<= :
lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Como o produto interno é comutativo, , então:

Passo 4

Agora, vamos expandir |u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<= :
lang<= u - v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Aplicando a propriedade distributiva:
|u - v|^2 = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Novamente, usando a comutatividade do produto interno:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = (|u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2) + (|u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2)
Simplificando:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2

Resposta

Prontinho! Mostramos que:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2
Essa é a Identidade do Paralelogramo!

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