Seja
,$\rangle um produto interno no espaço vetorial V e assuma que
seja uma norma induzida por
,
as seguintes igualdades:
(Identidade do Paralelogramo)
;
(Identidade do Paralelogramo)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
com um produto interno
e uma norma
que vem desse produto interno. O exercício pede pra gente mostrar a Identidade do Paralelogramo, que relaciona as normas de combinações de dois vetores
e
. Vamos precisar usar as propriedades do produto interno para expandir as normas e chegar na igualdade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é definida pelo produto interno:
Então, para calcular
e
, vamos expandir esses quadrados usando o produto interno.
Passo 3
Vamos começar expandindo
:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Como o produto interno é comutativo,
, então:
Passo 4
Agora, vamos expandir
:
Aplicando a propriedade distributiva:
Novamente, usando a comutatividade do produto interno:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
Simplificando:
Resposta
Prontinho! Mostramos que:
Essa é a Identidade do Paralelogramo!