Esboce a curva dada pela equação: 2 x^2+y^2+16 x-4 y+32=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a curva definida pela equação . Isso entra na matéria de Geometria Analítica, onde a gente aprende a identificar e desenhar diferentes tipos de curvas a partir de suas equações. Para resolver isso, vamos provavelmente completar o quadrado nos termos de e para identificar a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 2x^2 + 16x + y^2 - 4y + 32 = 0 e de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 2(x^2 + 8x) + y^2 - 4y + 32 = 0 e de . Para isso, é útil ter os coeficientes de e iguais a 1. Então, vamos fatorar o 2 que está junto do :

Passo 4

Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses para 2(x^2 + 8x + 16 - 16) + y^2 - 4y + 32 = 0. Para 2((x + 4)^2 - 16) + y^2 - 4y + 32 = 0, pegamos metade de 8, que é 4, e elevamos ao quadrado, ficando 16. Mas lembrando que há um fator 2 na frente:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de 2(x + 4)^2 - 32 + (y^2 - 4y + 4 - 4) + 32 = 0. Para 2(x + 4)^2 - 32 + (y - 2)^2 - 4 + 32 = 0, pegamos metade de -4, que é -2, e elevamos ao quadrado, ficando 4:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
2(x + 4)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0
2(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 4

Passo 7

Dividimos todos os termos por 4 para obter a forma padrão da equação de um elipse:
(x + 4)^22 + (y - 2)^24 = 1

Passo 8

Agora, identificamos que esta é a equação de uma elipse com centro em , semi-eixos de comprimento ao longo do eixo e 2 ao longo do eixo .

Resposta

A curva é uma elipse com centro em , semi-eixos de em e 2 em . Para esboçá-la, desenhe uma elipse centrada em , estendendo-se aproximadamente unidades para a direita e esquerda, e 2 unidades para cima e para baixo.

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