Esboce a curva dada pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a curva definida pela equação
. Isso entra na matéria de Geometria Analítica, onde a gente aprende a identificar e desenhar diferentes tipos de curvas a partir de suas equações. Para resolver isso, vamos provavelmente completar o quadrado nos termos de
e
para identificar a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Para isso, é útil ter os coeficientes de
e
iguais a 1. Então, vamos fatorar o 2 que está junto do
:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses para
. Para
, pegamos metade de 8, que é 4, e elevamos ao quadrado, ficando 16. Mas lembrando que há um fator 2 na frente:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. Para
, pegamos metade de -4, que é -2, e elevamos ao quadrado, ficando 4:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Passo 7
Dividimos todos os termos por 4 para obter a forma padrão da equação de um elipse:
Passo 8
Agora, identificamos que esta é a equação de uma elipse com centro em
, semi-eixos de comprimento
ao longo do eixo
e 2 ao longo do eixo
.
Resposta
A curva é uma elipse com centro em
, semi-eixos de
em
e 2 em
. Para esboçá-la, desenhe uma elipse centrada em
, estendendo-se aproximadamente
unidades para a direita e esquerda, e 2 unidades para cima e para baixo.