Seja | | | uma norma no espaço vetorial
. Mostre que, se | | | satisfizer a Identidade do Paralelogramo, então
é uma norma induzida por um produto interno.
Conclua que a norma do máximo
não é induzida por nenhum produto interno.
Conclua que a norma do máximo
Passo 1
Beleza, então temos um exercício sobre normas em espaços vetoriais. O enunciado pede para mostrar que se uma norma satisfaz a Identidade do Paralelogramo, ela é induzida por um produto interno. Além disso, temos que concluir que a norma do máximo, definida por
, não é induzida por nenhum produto interno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são normas, produtos internos e a Identidade do Paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é uma norma. Uma função
que atribui um número não negativo a cada vetor em um espaço vetorial
, satisfazendo certas propriedades (positividade, homogeneidade e desigualdade triangular).
Agora, um produto interno é uma função que toma dois vetores e retorna um número real, satisfazendo propriedades como linearidade, simetria e positividade definida. Quando temos um produto interno, ele induz uma norma através da fórmula:
A Identidade do Paralelogramo é uma condição que relaciona a norma de vetores e suas somas e diferenças:
O que a gente sabe é que se a norma vem de um produto interno, essa identidade sempre vale. Então, o que precisamos mostrar é o contrário: se a norma satisfaz essa identidade, então ela vem de um produto interno.
Passo 3
Para provar que uma norma que satisfaz a Identidade do Paralelogramo é induzida por um produto interno, usamos a identidade de polarização. Essa identidade nos permite definir um produto interno a partir da norma. Especificamente, podemos definir:
Com isso, mostramos que existe um produto interno que gera a norma dada, provando que a norma é induzida por um produto interno.
Passo 4
Agora, vamos analisar a norma do máximo,
. Para ver se ela é induzida por um produto interno, precisamos verificar se ela satisfaz a Identidade do Paralelogramo.
Vamos escolher vetores específicos para testar:
Seja e
. Então:
Seja
Então,
.
Por outro lado:
Como
, a Identidade do Paralelogramo não é satisfeita pela norma do máximo. Portanto, ela não é induzida por nenhum produto interno.
Resposta
Concluímos que se uma norma satisfaz a Identidade do Paralelogramo, então ela é induzida por um produto interno. Além disso, a norma do máximo
não é induzida por nenhum produto interno.