Seja | | | uma norma no espaço vetorial V. Mostre que, se | | | satisfizer a Identidade do Paralelogramo, então |cdot| é uma norma induzida por um produto interno.
Conclua que a norma do máximo |(x, y)|=max |x|,|y| não é induzida por nenhum produto interno.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício sobre normas em espaços vetoriais. O enunciado pede para mostrar que se uma norma satisfaz a Identidade do Paralelogramo, ela é induzida por um produto interno. Além disso, temos que concluir que a norma do máximo, definida por , não é induzida por nenhum produto interno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são normas, produtos internos e a Identidade do Paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma norma. Uma função |v| = raizlang<= v, v rang<= que atribui um número não negativo a cada vetor em um espaço vetorial |u + v|^2 + |u - v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2) , satisfazendo certas propriedades (positividade, homogeneidade e desigualdade triangular).
Agora, um produto interno é uma função que toma dois vetores e retorna um número real, satisfazendo propriedades como linearidade, simetria e positividade definida. Quando temos um produto interno, ele induz uma norma através da fórmula:
A Identidade do Paralelogramo é uma condição que relaciona a norma de vetores e suas somas e diferenças:
O que a gente sabe é que se a norma vem de um produto interno, essa identidade sempre vale. Então, o que precisamos mostrar é o contrário: se a norma satisfaz essa identidade, então ela vem de um produto interno.

Passo 3

Para provar que uma norma que satisfaz a Identidade do Paralelogramo é induzida por um produto interno, usamos a identidade de polarização. Essa identidade nos permite definir um produto interno a partir da norma. Especificamente, podemos definir:
lang<= u, v rang<= = 14 ( |u + v|^2 - |u - v|^2 )
Com isso, mostramos que existe um produto interno que gera a norma dada, provando que a norma é induzida por um produto interno.

Passo 4

Agora, vamos analisar a norma do máximo, |u + v| = |(1,1)| = 1 . Para ver se ela é induzida por um produto interno, precisamos verificar se ela satisfaz a Identidade do Paralelogramo.
Vamos escolher vetores específicos para testar:
Seja |u - v| = |(1,-1)| = 1 e 2(|u|^2 + |v|^2) = 2(1 + 1) = 4 . Então:
Então, .
Por outro lado:
Como , a Identidade do Paralelogramo não é satisfeita pela norma do máximo. Portanto, ela não é induzida por nenhum produto interno.

Resposta

Concluímos que se uma norma satisfaz a Identidade do Paralelogramo, então ela é induzida por um produto interno. Além disso, a norma do máximo não é induzida por nenhum produto interno.

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