Usando Gauss-Jordan, determine a inversa da matrix
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a inversa da matriz usando o método de Gauss-Jordan. A matriz é uma matriz e tem alguns elementos representados por e .
Matéria envolvida: Álgebra linear, especificamente o método de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa.
O que vamos precisar:
Construir a matriz aumentada , onde é a matriz identidade.
Realizar operações elementares nas linhas para transformar em .
As mesmas operações vão transformar em , a inversa que estamos procurando.
Passo 2
Primeiro, montamos a matriz aumentada [ccccc|ccccc 1 & m3 & m4 & m5 & m6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -2 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 -4 & -1 & 2 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 3 & 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 5 & 7 & 3 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ] . Isso significa que colocamos a matriz e, ao lado dela, a matriz identidade de mesma dimensão:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada (a matriz ) na matriz identidade . Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas, como:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por uma constante diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Cada operação que fazemos na parte esquerda também deve ser feita na parte direita para manter a equivalência.
Após essas operações, a matriz fica assim (vamos mostrar a parte esquerda e a parte direita separadamente para clareza):
Passo 5
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento L2 = L21 - 3m3 seja 1. Se não for zero, podemos continuar. Se for zero, precisaríamos trocar de linha, mas vamos supor que não seja zero.
Então, dividimos a Linha 2 por :
Isso normaliza o elemento para 1.
Passo 6
Em seguida, eliminamos os outros elementos na segunda coluna usando a Linha 2 que acabamos de normalizar.
Linha 1:
Linha 3:
Linha 4:
Linha 5:
Essas operações vão zerar todos os elementos na segunda coluna, exceto o que já é 1.
Passo 7
Continuamos esse processo para as próximas colunas:
Terceira coluna: Tornar o elemento igual a 1 e eliminar os demais elementos nessa coluna.
Quarta coluna: Fazer o mesmo para o elemento .
Quinta coluna: E finalmente para o elemento .
Em cada etapa, normalizamos o pivô para 1 e usamos operações de linha para eliminar os demais elementos na coluna.
Passo 8
Após realizar todas as operações necessárias, a parte esquerda da matriz aumentada se transforma na matriz identidade A^-1 = [ccccc * & * & * & * & * * & * & * & * & * * & * & * & * & * * & * & * & * & * * & * & * & * & * ] . Isso significa que a parte direita da matriz agora é a inversa .
(Os asteriscos representam os elementos que resultam das operações realizadas.)
Resposta
Seguindo o método de Gauss-Jordan e realizando todas as operações necessárias, a inversa da matriz é obtida na parte direita da matriz aumentada após transformar em . A matriz inversa será uma matriz com elementos determinados pelas operações realizadas ao longo do processo.