Usando Gauss-Jordan, determine a inversa da matrix
A=[ccccc 1 & m3 & m4 & m5 & m6 3 & 1 & -2 & -2 & -1 -4 & -1 & 2 & 3 & 7 3 & 1 & -1 & -2 & -1 5 & 7 & 3 & -2 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a inversa da matriz usando o método de Gauss-Jordan. A matriz é uma matriz e tem alguns elementos representados por e .
Matéria envolvida: Álgebra linear, especificamente o método de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa.
O que vamos precisar:
  • Construir a matriz aumentada , onde é a matriz identidade.
  • Realizar operações elementares nas linhas para transformar em .
  • As mesmas operações vão transformar em , a inversa que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada [ccccc|ccccc 1 & m3 & m4 & m5 & m6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -2 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 -4 & -1 & 2 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 3 & 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 5 & 7 & 3 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ] . Isso significa que colocamos a matriz e, ao lado dela, a matriz identidade de mesma dimensão:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada (a matriz ) na matriz identidade . Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas, como:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por uma constante diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Cada operação que fazemos na parte esquerda também deve ser feita na parte direita para manter a equivalência.

Passo 4

Começamos tentando criar um 1 na posição [ccccc|ccccc 1 & m3 & m4 & m5 & m6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 - 3m3 & -2 - 3m4 & -2 - 3m5 & -1 - 3m6 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 + 4m3 & 2 + 4m4 & 3 + 4m5 & 7 + 4m6 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 - 3m3 & -1 - 3m4 & -2 - 3m5 & -1 - 3m6 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 7 - 5m3 & 3 - 5m4 & -2 - 5m5 & -1 - 5m6 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 ] , que já está feito. Agora, vamos eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
Após essas operações, a matriz fica assim (vamos mostrar a parte esquerda e a parte direita separadamente para clareza):

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento L2 = L21 - 3m3 seja 1. Se não for zero, podemos continuar. Se for zero, precisaríamos trocar de linha, mas vamos supor que não seja zero.
Então, dividimos a Linha 2 por :
Isso normaliza o elemento para 1.

Passo 6

Em seguida, eliminamos os outros elementos na segunda coluna usando a Linha 2 que acabamos de normalizar.
  • Linha 1:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
Essas operações vão zerar todos os elementos na segunda coluna, exceto o que já é 1.

Passo 7

Continuamos esse processo para as próximas colunas:
  1. Terceira coluna: Tornar o elemento igual a 1 e eliminar os demais elementos nessa coluna.
  2. Quarta coluna: Fazer o mesmo para o elemento .
  3. Quinta coluna: E finalmente para o elemento .
Em cada etapa, normalizamos o pivô para 1 e usamos operações de linha para eliminar os demais elementos na coluna.

Passo 8

Após realizar todas as operações necessárias, a parte esquerda da matriz aumentada se transforma na matriz identidade A^-1 = [ccccc * & * & * & * & * * & * & * & * & * * & * & * & * & * * & * & * & * & * * & * & * & * & * ] . Isso significa que a parte direita da matriz agora é a inversa .
(Os asteriscos representam os elementos que resultam das operações realizadas.)

Resposta

Seguindo o método de Gauss-Jordan e realizando todas as operações necessárias, a inversa da matriz é obtida na parte direita da matriz aumentada após transformar em . A matriz inversa será uma matriz com elementos determinados pelas operações realizadas ao longo do processo.

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