Transforme a equação dada usando uma rotação de theta dos eixos coordenados no sentido anti-horário. 2 x^2+8 x y-1=0, theta=30^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar a equação usando uma rotação dos eixos coordenados no sentido anti-horário de . O que isso significa? Basicamente, vamos girar o sistema de coordenadas em e reescrever a equação na nova orientação. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de rotação de coordenadas que envolvem trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação de coordenadas. Se girarmos os eixos em um ângulo x = x' cos theta - y' sin theta , as novas coordenadas y = x' sin theta + y' cos theta estão relacionadas às antigas por:
Aqui, .

Passo 3

Vamos substituir x = x' cdot raiz32 - y' cdot 12 nas fórmulas. Sabemos que y = x' cdot 12 + y' cdot raiz32 e . Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões de 2(x' raiz32 - y' 12)^2 + 8(x' raiz32 - y' 12)(x' 12 + y' raiz32) - 1 = 0 e na equação original . Isso vai nos dar a equação na nova coordenada . Fica assim:

Passo 5

Vamos desenvolver os termos quadráticos e multiplicar os fatores. Primeiro, expandindo (x' raiz32)^2 - 2 cdot x' raiz32 cdot y' 12 + (y' 12)^2 = 34x'^2 - raiz32x'y' + 14y'^2 :
2 cdot (34x'^2 - raiz32x'y' + 14y'^2) = 32x'^2 - raiz3x'y' + 12y'^2
Multiplicando por 2:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar os termos de 8 cdot (x' raiz32 - y' 12) cdot (x' 12 + y' raiz32) :
x' raiz32 cdot x' 12 + x' raiz32 cdot y' raiz32 - y' 12 cdot x' 12 - y' 12 cdot y' raiz32
Primeiro, multiplicamos dentro dos parênteses:
raiz34x'^2 + 34x'y' - 14x'y' - raiz34y'^2 = raiz34x'^2 + 12x'y' - raiz34y'^2
Simplificando:
8 cdot (raiz34x'^2 + 12x'y' - raiz34y'^2) = 2raiz3x'^2 + 4x'y' - 2raiz3y'^2
Multiplicando por 8:

Passo 7

Agora, somamos todos os termos que obtivemos e subtraímos 1:
32x'^2 - raiz3x'y' + 12y'^2 + 2raiz3x'^2 + 4x'y' - 2raiz3y'^2 - 1 = 0
Vamos juntar os termos semelhantes:
(32 + 2raiz3)x'^2 + (-raiz3 + 4)x'y' + (12 - 2raiz3)y'^2 - 1 = 0

Passo 8

Para simplificar, podemos deixar a equação assim ou fatorar alguns termos. No entanto, como o objetivo era apenas transformar a equação usando a rotação, podemos deixar nessa forma.

Resposta

Após a rotação dos eixos em (32 + 2raiz3)x'^2 + (4 - raiz3)x'y' + (12 - 2raiz3)y'^2 - 1 = 0 , a equação transformada fica:

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