Transforme a equação dada usando uma rotação de
dos eixos coordenados no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar a equação
usando uma rotação dos eixos coordenados no sentido anti-horário de
. O que isso significa? Basicamente, vamos girar o sistema de coordenadas em
e reescrever a equação na nova orientação. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de rotação de coordenadas que envolvem trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de rotação de coordenadas. Se girarmos os eixos em um ângulo
, as novas coordenadas
estão relacionadas às antigas
por:
Aqui,
.
Passo 3
Vamos substituir
nas fórmulas. Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões de
e
na equação original
. Isso vai nos dar a equação na nova coordenada
. Fica assim:
Passo 5
Vamos desenvolver os termos quadráticos e multiplicar os fatores. Primeiro, expandindo
:
Multiplicando por 2:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar os termos de
:
Primeiro, multiplicamos dentro dos parênteses:
Simplificando:
Multiplicando por 8:
Passo 7
Agora, somamos todos os termos que obtivemos e subtraímos 1:
Vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 8
Para simplificar, podemos deixar a equação assim ou fatorar alguns termos. No entanto, como o objetivo era apenas transformar a equação usando a rotação, podemos deixar nessa forma.
Resposta
Após a rotação dos eixos em
, a equação transformada fica: