Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x=2 cos t, y=t-cos t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Vamos entender o enunciado da questão. Temos que esboçar uma curva que é descrita por equações paramétricas. Aqui, as equações são x = 2 cos t e y = t - cos t. O intervalo para t é de 0 a 2pi. O conteúdo que estamos trabalhando aqui são equações paramétricas, que nos ajudam a descrever curvas no plano com o auxílio de um parâmetro, que neste caso é t. Para resolver isso, vamos precisar calcular alguns pontos que correspondem aos valores de t no intervalo dado e desenhar a curva a partir desses pontos. Além disso, vamos indicar a direção que a curva é traçada conforme t aumenta.

Passo 2

Agora, vamos calcular alguns pontos da curva. Para isso, vamos escolher alguns valores de t dentro do intervalo de 0 a 2pi e calcular os respectivos valores de x e y. Vou calcular para t = 0, t = pi2, t = pi, t = 3pi2 e t = 2pi.
  • Para t = 0:
    • x = 2 cos(0) = 2 cdot 1 = 2
    • y = 0 - cos(0) = 0 - 1 = -1
    • Ponto: (2, -1)
  • Para t = pi2:
    • x = 2 cos(pi2) = 2 cdot 0 = 0
    • y = pi2 - cos(pi2) = pi2 - 0 = pi2
    • Ponto: (0, pi2)
  • Para t = pi:
    • x = 2 cos(pi) = 2 cdot (-1) = -2
    • y = pi - cos(pi) = pi - (-1) = pi + 1
    • Ponto: (-2, pi + 1)
  • Para t = 3pi2:
    • x = 2 cos(3pi2) = 2 cdot 0 = 0
    • y = 3pi2 - cos(3pi2) = 3pi2 - 0 = 3pi2
    • Ponto: (0, 3pi2)
  • Para t = 2pi:
    • x = 2 cos(2pi) = 2 cdot 1 = 2
    • y = 2pi - cos(2pi) = 2pi - 1
    • Ponto: (2, 2pi - 1)

Passo 3

Com os pontos que encontramos, temos:
  • Para t=0: (2, -1)
  • Para t=pi2: (0, pi2)
  • Para t=pi: (-2, pi + 1)
  • Para t=3pi2: (0, 3pi2)
  • Para t=2pi: (2, 2pi - 1)
Agora, vamos plotar esses pontos em um gráfico e conectar eles. Ao desenhar a curva, você pode observar que ela forma uma espécie de “loop” quando t vai de 0 até 2pi.
A direção da curva é dada pelas posições dos pontos à medida que t aumenta. Ou seja, você começa em (2, -1), vai para (0, pi2), depois para (-2, pi + 1), depois para (0, 3pi2), e volta para (2, 2pi - 1).

Resposta

Assim, ao plotar esses pontos e conectar, você terá a curva com a direção marcada. A curva segue uma trajetória que você pode visualizar e a luz da setinha em direção ao movimento corresponde ao aumento de t.

Exercícios relacionados