Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x=e^-t+t, y=e^t-t, -2 <= t <= 2

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para esboçar a curva usando equações paramétricas. As equações que temos são x = e^-t + t e y = e^t - t, com t variando de -2 a 2. O conteúdo aqui é sobre parametrização de curvas, que é uma forma de descrever a trajetória de um ponto no espaço. Para resolver, precisamos calcular os valores de x e y para os pontos que t assume entre -2 e 2 e, ao final, indicar a direção da curva.

Passo 2

Vamos começar calculaando os pontos da curva. Precisamos substituir os valores de t que estão no intervalo [-2, 2]. Podemos calcular para alguns valores específicos, como t = -2, t = -1, t = 0, t = 1, e t = 2.
  1. Para t = -2:
    • x = e^2 - 2
    • y = e^-2 + 2
  2. Para t = -1:
    • x = e^1 - 1
    • y = e^-1 + 1
  3. Para t = 0:
    • x = e^0 + 0 = 1
    • y = e^0 - 0 = 1
  4. Para t = 1:
    • x = e^-1 + 1
    • y = e^1 - 1
  5. Para t = 2:
    • x = e^-2 + 2
    • y = e^2 - 2
Agora vamos calcular os valores numéricos:
  1. Para t = -2:
    • x approx 7.39
    • y approx 0.14
  2. Para t = -1:
    • x approx 1.72
    • y approx 1.36
  3. Para t = 0:
    • x = 1, y = 1
  4. Para t = 1:
    • x approx 1.37
    • y approx 1.72
  5. Para t = 2:
    • x approx 0.14
    • y approx 5.39

Passo 3

Agora que temos os pontos, vamos listar eles para visualizar melhor:
  • Para t = -2: (7.39, 0.14)
  • Para t = -1: (1.72, 1.36)
  • Para t = 0: (1, 1)
  • Para t = 1: (1.37, 1.72)
  • Para t = 2: (0.14, 5.39)
Com esses pontos em mãos, podemos esboçar a curva no plano cartesiano. É só plotar cada par de coordenadas e ligá-los na ordem que foram calculados.

Resposta

A direção da curva é da esquerda para a direita, já que, conforme o valor de t aumenta, os pontos vão sendo traçados na ordem que listamos. Então a curva começa em (7.39, 0.14) e vai até (0.14, 5.39).

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