Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x=cos ^2 t, y=1-sen t, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para esboçar uma curva usando as equações paramétricas dadas: x=cos ^2 t e y=1-sen t, para 0 <= t <= pi/2. O conteúdo aqui é sobre curvas paramétricas, que são bastante usadas para representar trajetórias e formas em um plano. Para resolver, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de t e depois desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de x e y para alguns valores de t dentro do intervalo de 0 a pi/2. Vamos usar três valores: t = 0, t = pi4 e t = pi2.
  1. Para t = 0:
    • x = cos^2(0) = 1
    • y = 1 - sin(0) = 1
    • Então, o ponto é (1, 1).
  2. Para t = pi4:
    • x = cos^2(pi4) = (raiz22)^2 = 12
    • y = 1 - sin(pi4) = 1 - raiz22
    • Então, o ponto é (12, 1 - raiz22).
  3. Para t = pi2:
    • x = cos^2(pi2) = 0
    • y = 1 - sin(pi2) = 0
    • Então, o ponto é (0, 0).
Agora, temos os pontos calculados: (1, 1), (12, 1 - raiz22) e (0, 0).

Passo 3

Agora que temos nossos pontos, vamos plotá-los em um sistema de coordenadas cartesianas. Coloque o ponto (1, 1) no canto superior direito, o ponto (0, 0) na origem e o ponto (12, 1 - raiz22) um pouco abaixo de 1 relativo a y e à esquerda de (1, 1) e à direita de (0, 0).
Se ligarmos esses pontos, vamos notar que a curva vai “descer” de (1, 1) até (0, 0). Como t aumenta de 0 a pi2, a curva é traçada na direção da seta que vai do primeiro ponto até o último.

Resposta

A curva traçada é uma descida suave que vai de (1, 1) até (0, 0) e a direção da curva quando t aumenta é da esquerda para a direita, partindo do ponto (1, 1) e indo até (0, 0).

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