Esboce as curvas de nível para os dados valores do nível . , em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função para os valores de nível . Curvas de nível são aquelas que mostram todos os pontos onde a função assume um valor constante . Para resolver isso, vamos usar a equação da curva de nível e desenhá-las para cada valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, , a curva de nível para um valor específico é definida por:
No nosso caso, a função é . Então, substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para resolver em termos de :
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada verticalmente dependendo do valor de .
Passo 4
Vamos esboçar as curvas para cada valor de :
Para :
Essa parábola está deslocada 2 unidades para cima.
Para :
Essa é a parábola padrão, sem deslocamento.
Para :
Aqui, a parábola está deslocada 3 unidades para baixo.
Passo 5
Vamos resumir como cada parábola se posiciona no gráfico:
: Parábola mais alta.
: Parábola no meio.
: Parábola mais baixa.
Resposta
As curvas de nível da função para são parábolas dadas por:
Essas parábolas abrem para cima, deslocadas verticalmente conforme os valores de .