Esboce o gráfico de
.
.
Passo 1
Beleza! Vamos esboçar o gráfico da função
. Esse problema está ligado ao estudo de funções com duas variáveis e envolve conceitos de álgebra, especialmente manipulação de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a expressão dentro da raiz é não negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar onde a função está definida. A expressão dentro da raiz,
, precisa ser maior ou igual a zero:
Isso garante que o que está dentro da raiz é real.
Passo 3
Vamos rearranjar a inequação para facilitar a análise:
Essa forma nos lembra a equação padrão de uma hipérbole, que é algo como
.
Passo 4
Comparando com a equação padrão, podemos reescrever a inequação como:
Aqui,
e
, então
e
. Isso indica que estamos lidando com uma hipérbole vertical.
Passo 5
Saber que a equação representa uma hipérbole nos ajuda a esboçar o gráfico. No caso, a hipérbole está centrada na origem (0,0), abre-se para cima e para baixo (porque o termo com
é positivo) e tem vértices a uma distância
unidades do centro ao longo do eixo y.
Passo 6
Agora, para esboçar a hipérbole:
- Marque os vértices em (0, 4) e (0, -4).
- Desenhe as assíntotas, que são as linhas que a hipérbole se aproxima. As equações das assíntotas são
. - Desenhe a curva da hipérbole abrindo-se para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que se afasta do centro.
Passo 7
Finalmente, o gráfico de
será a superfície resultante dessa hipérbole no espaço tridimensional, onde para cada ponto (x, y) que satisfaz a inequação, a função
dá um valor real.
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole vertical centrada na origem, com vértices em (0,4) e (0,-4), assíntotas
, abrindo-se para cima e para baixo no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
©
Esboce o gráfico de
.
.
Descreva o domínio de
e ache os valores funcionais indicados
e
.
Esboce as curvas de nível para os dados valores do nível
.
, em
.