Esboce o gráfico de f. f(x, y) = raiz(y^2 - 4x^2 - 16).

Passo 1

Beleza! Vamos esboçar o gráfico da função . Esse problema está ligado ao estudo de funções com duas variáveis e envolve conceitos de álgebra, especialmente manipulação de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a expressão dentro da raiz é não negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar onde a função está definida. A expressão dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero:
Isso garante que o que está dentro da raiz é real.

Passo 3

Vamos rearranjar a inequação para facilitar a análise:
Essa forma nos lembra a equação padrão de uma hipérbole, que é algo como .

Passo 4

Comparando com a equação padrão, podemos reescrever a inequação como:
Aqui, e , então e . Isso indica que estamos lidando com uma hipérbole vertical.

Passo 5

Saber que a equação representa uma hipérbole nos ajuda a esboçar o gráfico. No caso, a hipérbole está centrada na origem (0,0), abre-se para cima e para baixo (porque o termo com é positivo) e tem vértices a uma distância unidades do centro ao longo do eixo y.

Passo 6

Agora, para esboçar a hipérbole:
  • Marque os vértices em (0, 4) e (0, -4).
  • Desenhe as assíntotas, que são as linhas que a hipérbole se aproxima. As equações das assíntotas são .
  • Desenhe a curva da hipérbole abrindo-se para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que se afasta do centro.

Passo 7

Finalmente, o gráfico de será a superfície resultante dessa hipérbole no espaço tridimensional, onde para cada ponto (x, y) que satisfaz a inequação, a função dá um valor real.

Resposta

O gráfico de é uma hipérbole vertical centrada na origem, com vértices em (0,4) e (0,-4), assíntotas , abrindo-se para cima e para baixo no espaço tridimensional.

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