Esboce as curvas de nível para os dados valores do nível k. f(x, y) = y^2 - x^2, em k = -4,0,9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar as curvas de nível para a função nos valores de . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e suas curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume o mesmo valor . Ou seja, para cada , temos a equação . Essas curvas nos dão uma ideia das “alturas” da função em diferentes regiões.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação para cada valor de . Isso nos ajudará a identificar o tipo de curva que vamos desenhar.

Passo 4

Para :
Essa é a equação de uma hipérbole.

Passo 5

Para :
Aqui, as curvas são duas retas que se cruzam, formando um “X”.

Passo 6

Para :
Essa também é a equação de uma hipérbole, mas com uma abertura diferente da anterior.

Passo 7

Agora que sabemos o tipo de curva para cada , vamos esboçá-las:
  • Para : Uma hipérbole que se abre ao longo do eixo .
  • Para : Duas retas diagonais passando pelo centro.
  • Para : Uma hipérbole que se abre ao longo do eixo .

Resposta

As curvas de nível para nos valores de são:
  • Para : Hipérbole que se abre horizontalmente.
  • Para : Duas retas diagonais e .
  • Para : Hipérbole que se abre verticalmente.

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