Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de curvas de nível usando a função
. O objetivo é esboçar as curvas de nível para os valores de
e, depois, desenhar o gráfico completo da função. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas representam a função no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta no plano.
Passo 3
Vamos encontrar as curvas de nível para cada valor de
:
-
Para
: A única solução ée , que é um único ponto no plano. -
Para
: Esta é a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem. -
Para
: Aqui, temos um círculo com raio 2 e centro na origem. -
Para
: Este é um círculo com raio 3 e centro na origem.
Passo 4
Agora, vamos esboçar cada uma dessas curvas no plano
:
-
: Apenas o ponto (0,0). -
: Círculo de raio 1 centrado na origem. -
: Círculo de raio 2 centrado na origem. -
: Círculo de raio 3 centrado na origem.
Essas curvas de nível são círculos concêntricos que se expandem à medida que
aumenta.
Passo 5
Para desenhar o gráfico da função
, reconhecemos que esta é uma superfície parabólica que se abre para cima. As curvas de nível que esboçamos são seções dessa superfície em diferentes alturas
.
Resposta
As curvas de nível da função
para
são círculos concêntricos centrados na origem com raios 0, 1, 2 e 3, respectivamente. O gráfico da função é uma superfície parabólica circular que se expande à medida que
aumenta.