Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de curvas de nível usando a função . O objetivo é esboçar as curvas de nível para os valores de e, depois, desenhar o gráfico completo da função. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas representam a função no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta no plano.

Passo 3

Vamos encontrar as curvas de nível para cada valor de :
  • Para :
    A única solução é e , que é um único ponto no plano.
  • Para :
    Esta é a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem.
  • Para :
    Aqui, temos um círculo com raio 2 e centro na origem.
  • Para :
    Este é um círculo com raio 3 e centro na origem.

Passo 4

Agora, vamos esboçar cada uma dessas curvas no plano :
  • : Apenas o ponto (0,0).
  • : Círculo de raio 1 centrado na origem.
  • : Círculo de raio 2 centrado na origem.
  • : Círculo de raio 3 centrado na origem.
Essas curvas de nível são círculos concêntricos que se expandem à medida que aumenta.

Passo 5

Para desenhar o gráfico da função , reconhecemos que esta é uma superfície parabólica que se abre para cima. As curvas de nível que esboçamos são seções dessa superfície em diferentes alturas .

Resposta

As curvas de nível da função para são círculos concêntricos centrados na origem com raios 0, 1, 2 e 3, respectivamente. O gráfico da função é uma superfície parabólica circular que se expande à medida que aumenta.

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