Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais da função
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que permite calcular a taxa de variação da função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
-
A derivada de
em relação a usa a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia: -
A derivada de
em relação a é , porque é tratado como constante e não há nesse termo.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
-
A derivada de
em relação a é , pois não há nesse termo. -
A derivada de
em relação a também usa a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
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Calcule os limites, caso existam.
Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.
Se
e
. Calcule
.
Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.