Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que permite calcular a taxa de variação da função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
  • A derivada de em relação a usa a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:
  • A derivada de em relação a é , porque é tratado como constante e não há nesse termo.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
  • A derivada de em relação a é , pois não há nesse termo.
  • A derivada de em relação a também usa a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.
Se e . Calcule .
Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.