Calcule os limites, caso existam.
lim (x, y) (1,1) x^2-2 x y+y^2x^2-y^2

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular um limite aqui envolvendo duas variáveis, e , que estão se aproximando de . O conteúdo que vamos usar é sobre limites em funções de várias variáveis e algumas manhas de álgebra para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como simplificar frações e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
lim(x, y) (1,1) x^2 - 2xy + y^2x^2 - y^2
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador estão em formas que podemos fatorar.

Passo 3

No numerador, temos x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 . Isso é um trinomio que pode ser reescrito como um quadrado perfeito:

Passo 4

No denominador, temos x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) , que é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada da seguinte maneira:

Passo 5

Agora, substituímos essas fatorações na expressão original do limite:
(x - y)^2(x - y)(x + y)
Podemos simplificar essa fração cancelando um (x - y)^2(x - y)(x + y) = x - yx + y no numerador e no denominador, desde que :

Passo 6

Agora, substituímos os valores para quando 1 - 11 + 1 = 02 = 0 se aproxima de . Substituindo e na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados