Calcule os limites, caso existam.

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular um limite aqui envolvendo duas variáveis, e , que estão se aproximando de . O conteúdo que vamos usar é sobre limites em funções de várias variáveis e algumas manhas de álgebra para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como simplificar frações e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador estão em formas que podemos fatorar.

Passo 3

No numerador, temos . Isso é um trinomio que pode ser reescrito como um quadrado perfeito:

Passo 4

No denominador, temos , que é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada da seguinte maneira:

Passo 5

Agora, substituímos essas fatorações na expressão original do limite:
Podemos simplificar essa fração cancelando um no numerador e no denominador, desde que :

Passo 6

Agora, substituímos os valores para quando se aproxima de . Substituindo e na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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