Esboce o diagrama de Bode para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o diagrama de Bode para a função de transferência dada:
O diagrama de Bode é uma maneira de representar como um sistema responde a diferentes frequências, mostrando tanto a magnitude quanto a fase da resposta. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função de transferência e calcular a magnitude e a fase para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função de transferência para identificar os componentes que vão influenciar o diagrama de Bode:
Podemos reescrever isso como:
Assim, temos três partes:
- Um ganho constante de 200.
- Um termo de primeira ordem com
. - Outro termo de primeira ordem com
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de cada componente. Lembre-se que a magnitude em dB é dada por:
Para o ganho constante de 200:
Para os termos
e
, vamos considerar suas contribuições na magnitude separadamente.
Passo 4
Vamos analisar cada termo de frequência:
-
Termo
: - No início (quando
é muito menor que 2), a magnitude é aproximadamente . - Quando
passa por 2 rad/s, a magnitude começa a subir com uma taxa de +20 dB/decada.
- No início (quando
-
Termo
: - Para
muito menor que 10, a magnitude é aproximadamente . - Quando
passa por 10 rad/s, a magnitude começa a decair com uma taxa de -20 dB/decada.
- Para
Passo 5
Agora, vamos combinar esses efeitos no diagrama de magnitude:
- Ganho constante: +46 dB em todas as frequências.
- Termo
: A partir de 2 rad/s, adiciona +20 dB/decada. - Termo
: A partir de 10 rad/s, adiciona -20 dB/decada.
Então, a magnitude total será:
- Até 2 rad/s: ~46 dB.
- De 2 a 10 rad/s: 46 dB + 20 dB/decada.
- Acima de 10 rad/s: 46 dB + 20 dB/decada - 20 dB/decada = 46 dB.
Passo 6
Para o diagrama de fase, cada termo contribui com diferentes ângulos:
- Termo
: Fase que varia de 0° para . - Termo
: Fase que varia de 0° para até -90° para .
Combinando as fases:
- Até 2 rad/s: Aproximadamente 0°.
- Entre 2 e 10 rad/s: Fase começa a diminuir devido ao primeiro termo.
- Acima de 10 rad/s: Fase continua diminuindo devido ao segundo termo, totalizando cerca de -90°.
Resposta
O diagrama de Bode para
apresenta:
-
Magnitude:
- Até 2 rad/s: aproximadamente 46 dB.
- De 2 a 10 rad/s: aumenta a taxa de +20 dB/decada.
- Acima de 10 rad/s: estabiliza em cerca de 46 dB.
-
Fase:
- Aproximadamente 0° até 2 rad/s.
- Diminui progressivamente de 0° a -90° entre 2 e 10 rad/s.
- Mantém-se próximo a -90° para frequências acima de 10 rad/s.
Esse esboço ajuda a visualizar como o sistema responde a diferentes frequências, mostrando ganho e atraso de fase conforme a frequência aumenta.