Esboce o diagrama de Bode para H(j omega)=200 j omega(j omega+2)(j omega+10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o diagrama de Bode para a função de transferência dada:
H(j omega) = 200 j omega(j omega + 2)(j omega + 10)
O diagrama de Bode é uma maneira de representar como um sistema responde a diferentes frequências, mostrando tanto a magnitude quanto a fase da resposta. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função de transferência e calcular a magnitude e a fase para diferentes valores de omega.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de transferência para identificar os componentes que vão influenciar o diagrama de Bode:
H(j omega) = 200 j omega(j omega + 2)(j omega + 10)
Podemos reescrever isso como:
H(j omega) = 200 j omegaj omega + 2 cdot 1j omega + 10
Assim, temos três partes:
  1. Um ganho constante de 200.
  2. Um termo de primeira ordem com (j omega + 2).
  3. Outro termo de primeira ordem com (j omega + 10).

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de cada componente. Lembre-se que a magnitude em dB é dada por:
20 log10 | H(j omega) |
Para o ganho constante de 200:
20 log10(200) approx 46 dB
Para os termos j omegaj omega + 2 e 1j omega + 10, vamos considerar suas contribuições na magnitude separadamente.

Passo 4

Vamos analisar cada termo de frequência:
  1. Termo j omegaj omega + 2:
    • No início (quando omega é muito menor que 2), a magnitude é aproximadamente j omega2 approx 0.
    • Quando omega passa por 2 rad/s, a magnitude começa a subir com uma taxa de +20 dB/decada.
  2. Termo 1j omega + 10:
    • Para omega muito menor que 10, a magnitude é aproximadamente 110.
    • Quando omega passa por 10 rad/s, a magnitude começa a decair com uma taxa de -20 dB/decada.

Passo 5

Agora, vamos combinar esses efeitos no diagrama de magnitude:
  • Ganho constante: +46 dB em todas as frequências.
  • Termo j omegaj omega + 2: A partir de 2 rad/s, adiciona +20 dB/decada.
  • Termo 1j omega + 10: A partir de 10 rad/s, adiciona -20 dB/decada.
Então, a magnitude total será:
  • Até 2 rad/s: ~46 dB.
  • De 2 a 10 rad/s: 46 dB + 20 dB/decada.
  • Acima de 10 rad/s: 46 dB + 20 dB/decada - 20 dB/decada = 46 dB.

Passo 6

Para o diagrama de fase, cada termo contribui com diferentes ângulos:
  • Termo j omegaj omega + 2: Fase que varia de 0° para omega gg 2.
  • Termo 1j omega + 10: Fase que varia de 0° para omega ll 10 até -90° para omega gg 10.
Combinando as fases:
  • Até 2 rad/s: Aproximadamente 0°.
  • Entre 2 e 10 rad/s: Fase começa a diminuir devido ao primeiro termo.
  • Acima de 10 rad/s: Fase continua diminuindo devido ao segundo termo, totalizando cerca de -90°.

Resposta

O diagrama de Bode para H(j omega) = 200 j omega(j omega + 2)(j omega + 10) apresenta:
  • Magnitude:
    • Até 2 rad/s: aproximadamente 46 dB.
    • De 2 a 10 rad/s: aumenta a taxa de +20 dB/decada.
    • Acima de 10 rad/s: estabiliza em cerca de 46 dB.
  • Fase:
    • Aproximadamente 0° até 2 rad/s.
    • Diminui progressivamente de 0° a -90° entre 2 e 10 rad/s.
    • Mantém-se próximo a -90° para frequências acima de 10 rad/s.
Esse esboço ajuda a visualizar como o sistema responde a diferentes frequências, mostrando ganho e atraso de fase conforme a frequência aumenta.

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