Esboce o domínio natural das funções seguintes como subconjuntos de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o domínio natural da função
como um subconjunto de
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e precisamos entender onde a função está definida. Para isso, vamos precisar saber sobre domínios de funções e condições para raízes quadradas serem reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada está definida apenas para números maiores ou iguais a zero. Então, para que
seja real, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade:
Isso significa que a soma dos quadrados de
e
deve ser pelo menos 4.
Passo 4
Essa desigualdade representa todos os pontos
que estão a uma distância de pelo menos 2 unidades do ponto de origem (0,0), já que
. Geometricamente, isso corresponde ao exterior ou sobre o círculo de raio 2 centrado na origem.
Passo 5
Para esboçar o domínio, vamos desenhar um círculo com raio 2 e centro na origem. O domínio será todo o plano
menos o interior desse círculo. Ou seja, inclui os pontos no próprio círculo e todos os pontos fora dele.
Resposta
O domínio natural da função
é o conjunto de todos os pares
em
tais que
. Geometricamente, é a região externa e a fronteira de um círculo de raio 2 centrado na origem.