5^a Questão: Depois de realizar algumas experiências com um novo sanduíche, uma lanchonete acredita que as vendas do novo produto podem ser modeladas pela função
dS/dt = 2t/((t+4)^2)
Em que t é o tempo em semanas e S é a receita com a venda do sanduíche em milhares de reais. Determine a receita com a venda do sanduíche após 10 semanas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que a taxa de variação da receita em relação ao tempo é dada por:
Aqui, é o tempo em semanas e é a receita em milhares de reais. Nosso objetivo é encontrar a receita após 10 semanas, ou seja, calcular . Para isso, vamos precisar usar cálculo integral para encontrar a partir de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que representa a derivada da função em relação a . Para encontrar , precisamos integrar em relação a . Ou seja:

Passo 3

Para calcular essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos escolher . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a função fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:

Passo 7

Para determinar a constante , normalmente precisaríamos de uma condição inicial, como . Vamos assumir que no tempo , a receita é zero:
Calculando:

Passo 8

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos calcular :
Simplificando os cálculos:
Portanto:

Resposta

A receita com a venda do sanduíche após 10 semanas é de aproximadamente 1,077 mil reais.

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4^a Questão: Resolva a integral
integral 5 x^2+11 x+17x^3+5 x^2+4 x+20 d x
3^ a Questão: Calcule a integral integral x d xraiz8-2 x^2-x^4
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t) = <sen(t), t>
Calcule os limites a baixo
3) lim x 0 x+4x+1