Questão: Depois de realizar algumas experiências com um novo sanduíche, uma lanchonete acredita que as vendas do novo produto podem ser modeladas pela função
Em que t é o tempo em semanas e
é a receita com a venda do sanduíche em milhares de reais. Determine a receita com a venda do sanduíche após 10 semanas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que a taxa de variação da receita
em relação ao tempo
é dada por:
Aqui,
é o tempo em semanas e
é a receita em milhares de reais. Nosso objetivo é encontrar a receita após 10 semanas, ou seja, calcular
. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral para encontrar
a partir de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
representa a derivada da função
em relação a
. Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
. Ou seja:
Passo 3
Para calcular essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos escolher
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a função
fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão:
Passo 7
Para determinar a constante
, normalmente precisaríamos de uma condição inicial, como
. Vamos assumir que no tempo
, a receita é zero:
Calculando:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos calcular
:
Simplificando os cálculos:
Portanto:
Resposta
A receita com a venda do sanduíche após 10 semanas é de aproximadamente 1,077 mil reais.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Calcule os limites a baixo
3)
3)