Esboce o gráfico, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função matemática que é
. A missão aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, precisamos entender alguns conceitos:
- Domínio: os valores de
para os quais a função está definida. - Imagem: os valores que
pode assumir. - Paridade: saber se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Vamos usar conhecimentos de funções, valor absoluto e potências para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função dada é
. O valor absoluto,
, está definido para todos os reais, então
também está definido para todos os reais. Como estamos elevando isso ao cubo, que também está definido para todos os reais, o domínio de
é todos os números reais.
Domínio:
(todos os reais)
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são os possíveis valores de
.
A expressão dentro do cubo é
. O valor absoluto
sempre é maior ou igual a zero. Portanto:
- Se
, então é negativo. - Se
, . - Se
, é positivo.
Como estamos elevando isso ao cubo, que mantém o sinal do número,
pode assumir qualquer valor real. Não há restrições na saída.
Imagem:
(todos os reais)
Passo 4
Vamos verificar a paridade da função, ou seja, se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas.
- Função par:
- Função ímpar:
Vamos calcular
:
Como
, a função é par.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
.
Primeiro, identificamos pontos chave:
-
Quando
: -
Quando
: -
Quando
: -
Quando
: -
Quando
:
Observando a paridade, sabemos que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 6
Com todos esses pontos e a simetria em mente, podemos esboçar o gráfico:
- O gráfico passa por
, , , , e . - Como a função é um polinômio cúbico modificado pelo valor absoluto, o gráfico terá uma curva suave que sobe para a direita e para a esquerda a partir dos pontos de inflexão.
- A simetria par significa que o lado esquerdo do gráfico é uma imagem refletida do lado direito.
Resposta
Esboçando o gráfico de
, temos:
- Domínio: Todos os números reais (
). - Imagem: Todos os números reais (
). - Paridade: A função é par.
O gráfico passa pelos pontos
,
,
,
, e
e é simétrico em relação ao eixo
.
Exercícios relacionados
Seja a função definida por
, com
. Se
e
, calcule
e
.
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos
e
.
Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear das seguintes retas:
x)