Esboce o gráfico, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função matemática que é . A missão aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, precisamos entender alguns conceitos:
  • Domínio: os valores de para os quais a função está definida.
  • Imagem: os valores que pode assumir.
  • Paridade: saber se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Vamos usar conhecimentos de funções, valor absoluto e potências para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função dada é . O valor absoluto, , está definido para todos os reais, então também está definido para todos os reais. Como estamos elevando isso ao cubo, que também está definido para todos os reais, o domínio de é todos os números reais.
Domínio: (todos os reais)

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são os possíveis valores de .
A expressão dentro do cubo é . O valor absoluto sempre é maior ou igual a zero. Portanto:
  • Se , então é negativo.
  • Se , .
  • Se , é positivo.
Como estamos elevando isso ao cubo, que mantém o sinal do número, pode assumir qualquer valor real. Não há restrições na saída.
Imagem: (todos os reais)

Passo 4

Vamos verificar a paridade da função, ou seja, se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Função par:
  • Função ímpar:
Vamos calcular :
Como , a função é par.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função .
Primeiro, identificamos pontos chave:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Observando a paridade, sabemos que o gráfico é simétrico em relação ao eixo .

Passo 6

Com todos esses pontos e a simetria em mente, podemos esboçar o gráfico:
  1. O gráfico passa por , , , , e .
  2. Como a função é um polinômio cúbico modificado pelo valor absoluto, o gráfico terá uma curva suave que sobe para a direita e para a esquerda a partir dos pontos de inflexão.
  3. A simetria par significa que o lado esquerdo do gráfico é uma imagem refletida do lado direito.

Resposta

Esboçando o gráfico de , temos:
  • Domínio: Todos os números reais ( ).
  • Imagem: Todos os números reais ( ).
  • Paridade: A função é par.
O gráfico passa pelos pontos , , , , e e é simétrico em relação ao eixo .

Exercícios relacionados

Seja a função definida por , com . Se e , calcule e .
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos e .
Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear das seguintes retas:
x)