Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas condições:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos desenhar o gráfico de uma função que atenda a várias condições específicas. O conteúdo que vamos usar aqui inclui conceitos de limites, assíntotas verticais e horizontais, e comportamento de funções em certos pontos. Para resolver isso, vamos analisar cada condição uma por uma e construir a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, a função precisa satisfazer . Isso significa que, no ponto , o valor da função é zero. Então, nosso gráfico terá um ponto no origin, ou seja, (0, 0).

Passo 3

Agora, vemos que . Isso indica que há uma assíntota vertical em e que a função cresce sem limites quando se aproxima de , onde a função sobe para o infinito.

Passo 4

Em seguida, temos e . Isso quer dizer que, em , a função tem uma assimptota vertical onde, ao se aproximar de pela direita ( ), a função vai para , e ao se aproximar pela esquerda ( ), vai para . Então, adicionamos outra linha vertical em , com esse comportamento dispar.

Passo 5

Agora, observamos os limites quando vai para o infinito positivo e negativo: e . Isso significa que a função se aproxima de 0 quando fica muito grande ou muito pequeno, estabelecendo uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Com todas essas condições em mente, podemos montar a função. Uma maneira simples de construir uma função que tenha esses comportamentos é utilizar frações racionais com fatores que gerem as assíntotas verticais nos pontos desejados.
Uma possível função é:

Resposta

A função satisfaz todas as condições especificadas, com assíntotas verticais em e , um ponto em , e uma assíntota horizontal em .

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