Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas condições:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos desenhar o gráfico de uma função
que atenda a várias condições específicas. O conteúdo que vamos usar aqui inclui conceitos de limites, assíntotas verticais e horizontais, e comportamento de funções em certos pontos. Para resolver isso, vamos analisar cada condição uma por uma e construir a função passo a passo.
Passo 2
Primeiro, a função precisa satisfazer
. Isso significa que, no ponto
, o valor da função é zero. Então, nosso gráfico terá um ponto no origin, ou seja, (0, 0).
Passo 3
Agora, vemos que
. Isso indica que há uma assíntota vertical em
e que a função cresce sem limites quando se aproxima de , onde a função sobe para o infinito.
Passo 4
Em seguida, temos
e
. Isso quer dizer que, em
, a função tem uma assimptota vertical onde, ao se aproximar de
pela direita (
), a função vai para
, e ao se aproximar pela esquerda (
), vai para
. Então, adicionamos outra linha vertical em
, com esse comportamento dispar.
Passo 5
Agora, observamos os limites quando
vai para o infinito positivo e negativo:
e
. Isso significa que a função se aproxima de 0 quando
fica muito grande ou muito pequeno, estabelecendo uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Com todas essas condições em mente, podemos montar a função. Uma maneira simples de construir uma função que tenha esses comportamentos é utilizar frações racionais com fatores que gerem as assíntotas verticais nos pontos desejados.
Uma possível função é:
Resposta
A função
satisfaz todas as condições especificadas, com assíntotas verticais em
e
, um ponto em
, e uma assíntota horizontal em
.
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Calcule os limites abaixo:
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Seja
é contínua em 2 ? Por quê?