Seja é contínua em 2 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
Queremos saber se essa função é contínua em . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente significa que o gráfico da função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em , três condições precisam ser atendidas:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de 2 pela direita existe.
  4. Esses limites são iguais ao valor da função em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. A função está definida em :
Olha lá no enunciado, para , . Então, sim, a função está definida em e .

Passo 4

2. Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
Quando está chegando próximo de 2 pela esquerda, usamos a parte da função que vale para , que é .
Então, calculamos:

Passo 5

3. Limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
Quando está chegando próximo de 2 pela direita, usamos a parte da função que vale para , que é .
Então, calculamos:

Passo 6

4. Comparando os limites e o valor da função:
Temos que:
Para a função ser contínua em , os dois limites devem ser iguais e também iguais a . Aqui, vemos que os limites não são iguais ( ).

Resposta

Então, a função não é contínua em porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo:
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas condições:
Calcule os limites abaixo:
Verifique se a função abaixo é continua ou descontínua no ponto indicado: