Seja
é contínua em 2 ? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
Queremos saber se essa função é contínua em
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente significa que o gráfico da função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em
, três condições precisam ser atendidas:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda existe. - O limite da função quando
se aproxima de 2 pela direita existe. - Esses limites são iguais ao valor da função em
.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. A função está definida em
:
Olha lá no enunciado, para
,
. Então, sim, a função está definida em
e
.
Passo 4
2. Limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
Quando
está chegando próximo de 2 pela esquerda, usamos a parte da função que vale para
, que é
.
Então, calculamos:
Passo 5
3. Limite quando
se aproxima de 2 pela direita (
):
Quando
está chegando próximo de 2 pela direita, usamos a parte da função que vale para
, que é
.
Então, calculamos:
Passo 6
4. Comparando os limites e o valor da função:
Temos que:
Para a função ser contínua em
, os dois limites devem ser iguais e também iguais a
. Aqui, vemos que os limites não são iguais (
).
Resposta
Então, a função
não é contínua em
porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas condições:
Calcule os limites abaixo:
Verifique se a função abaixo é continua ou descontínua no ponto indicado: