Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite
. Então, o que estamos fazendo aqui é encontrar o valor que a expressão
se aproxima quando
cresce sem parar, ou seja, tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, especialmente limites no infinito, e como as funções exponenciais se comportam quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um limite no infinito. Quando calculamos
, estamos vendo para qual valor a função
está se aproximando conforme
aumenta e vai além de qualquer número. Não precisamos que
atinja esse valor, apenas que se aproxime cada vez mais.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. A função exponencial
cresce muito rapidamente conforme
aumenta. Isso significa que, conforme
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Ou seja,
.
Passo 4
Nossa expressão é
. Sabemos que o numerador é uma constante, 3, e o denominador cresce sem parar. Quando você tem uma constante dividida por algo que está indo para o infinito, o valor total da fração vai ficando cada vez menor, se aproximando de zero.
Passo 5
Matematicamente, podemos escrever isso assim:
Isso porque dividir uma constante por um número muito grande resulta em um número muito pequeno próximo de zero.
Resposta
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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas condições:
Seja
é contínua em 2 ? Por quê?
Calcule os limites abaixo: