Esboce o gráfico de um exemplo de uma funçöo
qui faça a todas as condições dadas.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função
que atende a certas condições de limites. Basicamente, temos que entender como a função se comporta quando
vai para valores bem grandes positivos e negativos, além de ver como ela se comporta perto de pontos específicos (como
e
). Para resolver isso, vamos precisar entender de limites e como eles influenciam o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite quando
vai para menos infinito:
Isso significa que, conforme
fica cada vez mais negativo, o valor de
também diminui sem limite. Então, à esquerda do gráfico, a função desce para o infinito negativo.
Passo 3
Agora, vamos olhar o limite quando
se aproxima de
pela esquerda e pela direita:
Esses limites indicam que em
temos uma assíntota vertical. Quando nos aproximamos de
pela esquerda, a função vai para o infinito positivo, e pela direita, para o infinito negativo. Isso cria um “pulo” no gráfico nesse ponto.
Passo 4
Vamos ver agora o comportamento em
:
Aqui, temos outra assíntota vertical em
. Conforme
se aproxima de
de qualquer lado,
aumenta sem limite, indo para o infinito positivo.
Passo 5
Por último, observamos o limite quando
vai para mais infinito:
Isso significa que, conforme
aumenta muito,
também aumenta sem limite. Então, à direita do gráfico, a função sobe para o infinito positivo.
Resposta
Juntando tudo isso, o gráfico da função
terá duas assíntotas verticais em
e
. À medida que
se aproxima de
pela esquerda,
vai para o infinito positivo, e pela direita para o infinito negativo. Próximo a
,
sempre vai para o infinito positivo. Além disso, quando
vai para menos infinito,
desce para o infinito negativo, e quando
vai para mais infinito,
sobe para o infinito positivo. O esboço do gráfico refletirá esses comportamentos, com as assíntotas verticais e os ramos da função seguindo esses limites.
Esboço do Gráfico

(Imagine um gráfico com assíntotas verticais em
e
, o ramo à esquerda descendo para o infinito negativo, próximo a
subindo para o infinito positivo pela esquerda e descendo para o negativo pela direita, e o ramo à direita subindo para o infinito positivo conforme
aumenta.)