Esboce o gráfico de um exemplo de uma funçöo f qui faça a todas as condições dadas.
lim x -infty f(x)=-infty, lim x -2^- f(x)=infty, lim x -2^+ f(x)=-infty, lim x 2 f(x)=infty, lim x infty f(x)=infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que atende a certas condições de limites. Basicamente, temos que entender como a função se comporta quando vai para valores bem grandes positivos e negativos, além de ver como ela se comporta perto de pontos específicos (como e ). Para resolver isso, vamos precisar entender de limites e como eles influenciam o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite quando limx to -infty f(x) = -infty vai para menos infinito:
Isso significa que, conforme fica cada vez mais negativo, o valor de também diminui sem limite. Então, à esquerda do gráfico, a função desce para o infinito negativo.

Passo 3

Agora, vamos olhar o limite quando limx to -2^- f(x) = infty e limx to -2^+ f(x) = -infty se aproxima de pela esquerda e pela direita:
Esses limites indicam que em temos uma assíntota vertical. Quando nos aproximamos de pela esquerda, a função vai para o infinito positivo, e pela direita, para o infinito negativo. Isso cria um “pulo” no gráfico nesse ponto.

Passo 4

Vamos ver agora o comportamento em limx to 2 f(x) = infty :
Aqui, temos outra assíntota vertical em . Conforme se aproxima de de qualquer lado, aumenta sem limite, indo para o infinito positivo.

Passo 5

Por último, observamos o limite quando limx to infty f(x) = infty vai para mais infinito:
Isso significa que, conforme aumenta muito, também aumenta sem limite. Então, à direita do gráfico, a função sobe para o infinito positivo.

Resposta

Juntando tudo isso, o gráfico da função terá duas assíntotas verticais em e . À medida que se aproxima de pela esquerda, vai para o infinito positivo, e pela direita para o infinito negativo. Próximo a , sempre vai para o infinito positivo. Além disso, quando vai para menos infinito, desce para o infinito negativo, e quando vai para mais infinito, sobe para o infinito positivo. O esboço do gráfico refletirá esses comportamentos, com as assíntotas verticais e os ramos da função seguindo esses limites.

Esboço do Gráfico

Gráfico da Função f(x)
(Imagine um gráfico com assíntotas verticais em e , o ramo à esquerda descendo para o infinito negativo, próximo a subindo para o infinito positivo pela esquerda e descendo para o negativo pela direita, e o ramo à direita subindo para o infinito positivo conforme aumenta.)

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