Esboce o gráfico de um exemplo de uma funçöo f qui faça a todas as condições dadas.
lim x -infty f(x)=-1, lim x 0^- f(x)=infty, lim x 0^+ f(x)=-infty,
lim x 1^- f(x)=1, f(3)=4, lim x 3^+ f(x)=4, lim x infty f(x)=1 39.

Passo 1

Beleza, vamos entender juntos o que o enunciado está pedindo. Temos que desenhar o gráfico de uma função que atende a várias condições sobre seus limites e valores em certos pontos.
Conteúdo da Matéria: Estamos lidando com limites de funções, que nos dizem o comportamento de quando se aproxima de certos valores. Além disso, vamos precisar entender sobre assíntotas (linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca) e pontos específicos onde a função tem valores definidos.
O que vamos precisar: Vamos analisar cada condição dada, entender o que ela significa para o gráfico de e, aos poucos, construir nosso esboço com todas essas informações.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
limx -infty f(x) = -1
Isso quer dizer que, quando vai para menos infinito (muito, muito à esquerda no gráfico), o valor de se aproxima de -1. Essa é uma assíntota horizontal em pelo lado esquerdo do gráfico.

Passo 3

Agora, olhemos para:
limx 0^- f(x) = infty e limx 0^+ f(x) = -infty
Isso indica que, quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), vai para positivo infinito, subindo muito alto. Já pela direita de 0 ( ), desce para negativo infinito. Então, temos uma assíntota vertical em , com o gráfico subindo à esquerda e descendo à direita.

Passo 4

Seguimos para:
limx 1^- f(x) = 1
Isso significa que, ao se aproximar de pela esquerda, se aproxima de 1. Não há informações sobre o lado direito de 1, então vamos apenas garantir que, perto de 1 à esquerda, o gráfico esteja em torno de .

Passo 5

A próxima condição é:
f(3) = 4
Aqui, temos um ponto específico: quando , . Vamos marcar esse ponto no gráfico: (3, 4).

Passo 6

Continuando:
limx 3^+ f(x) = 4
Isso quer dizer que, ao se aproximar de pela direita, também se aproxima de 4. Então, perto de , o gráfico se comporta de forma suave, aproximando-se de (3, 4) tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 7

Por último:
limx infty f(x) = 1
Isso indica que, quando vai para mais infinito (muito, muito à direita no gráfico), se aproxima de 1. Então, temos outra assíntota horizontal em pelo lado direito do gráfico.

Resposta

Com todas essas informações, o esboço do gráfico de terá:
  • Uma assíntota horizontal em à esquerda.
  • Uma assíntota vertical em , com o gráfico subindo à esquerda e descendo à direita.
  • Perto de pela esquerda, o gráfico se aproxima de .
  • Um ponto definido em (3, 4) e, próximo a , o gráfico se mantém próximo a 4.
  • Uma assíntota horizontal em à direita.
Assim, o gráfico terá as características mencionadas, respeitando todos os limites e o ponto especificado.

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