Esboce o gráfico de um exemplo de uma funçöo
qui faça a todas as condições dadas.
,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender juntos o que o enunciado está pedindo. Temos que desenhar o gráfico de uma função
que atende a várias condições sobre seus limites e valores em certos pontos.
Conteúdo da Matéria: Estamos lidando com limites de funções, que nos dizem o comportamento de
quando
se aproxima de certos valores. Além disso, vamos precisar entender sobre assíntotas (linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca) e pontos específicos onde a função tem valores definidos.
O que vamos precisar: Vamos analisar cada condição dada, entender o que ela significa para o gráfico de
e, aos poucos, construir nosso esboço com todas essas informações.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
Isso quer dizer que, quando
vai para menos infinito (muito, muito à esquerda no gráfico), o valor de
se aproxima de -1. Essa é uma assíntota horizontal em
pelo lado esquerdo do gráfico.
Passo 3
Agora, olhemos para:
Isso indica que, quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
),
vai para positivo infinito, subindo muito alto. Já pela direita de 0 (
),
desce para negativo infinito. Então, temos uma assíntota vertical em
, com o gráfico subindo à esquerda e descendo à direita.
Passo 4
Seguimos para:
Isso significa que, ao se aproximar de
pela esquerda,
se aproxima de 1. Não há informações sobre o lado direito de 1, então vamos apenas garantir que, perto de 1 à esquerda, o gráfico esteja em torno de
.
Passo 5
A próxima condição é:
Aqui, temos um ponto específico: quando
,
. Vamos marcar esse ponto no gráfico: (3, 4).
Passo 6
Continuando:
Isso quer dizer que, ao se aproximar de
pela direita,
também se aproxima de 4. Então, perto de
, o gráfico se comporta de forma suave, aproximando-se de (3, 4) tanto pela esquerda quanto pela direita.
Passo 7
Por último:
Isso indica que, quando
vai para mais infinito (muito, muito à direita no gráfico),
se aproxima de 1. Então, temos outra assíntota horizontal em
pelo lado direito do gráfico.
Resposta
Com todas essas informações, o esboço do gráfico de
terá:
- Uma assíntota horizontal em
à esquerda. - Uma assíntota vertical em
, com o gráfico subindo à esquerda e descendo à direita. - Perto de
pela esquerda, o gráfico se aproxima de . - Um ponto definido em (3, 4) e, próximo a
, o gráfico se mantém próximo a 4. - Uma assíntota horizontal em
à direita.
Assim, o gráfico terá as características mencionadas, respeitando todos os limites e o ponto especificado.