Use uma integral dupla para calcular a área da região R compreendida entre a parábola
e a reta
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região
que está entre a parábola
e a reta
. Para isso, vamos usar uma integral dupla, que é uma ferramenta de cálculo que permite somar infinitas pequenas áreas para encontrar a área total da região.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se encontram. Isso é importante porque esses pontos vão definir os limites da nossa integração. Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então,
ou
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos decidir como vamos integrar. Podemos integrar em relação a
ou a
. Aqui, é mais fácil integrar em relação a
, porque para cada valor de
,
vai variar entre a parábola e a reta.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. A
varia de 0 a 8 (os valores das interseções). Para cada
,
varia da parábola
até a reta
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Agora, avaliamos de 0 a 8:
Primeira parte:
Segunda parte:
Subtraindo as duas partes:
Mas área não pode ser negativa, então pegamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região
compreendida entre a parábola
e a reta
é aproximadamente
unidades quadradas.