Use uma integral dupla para calcular a área da região R compreendida entre a parábola y = x^2 / 2 e a reta y = 2 x.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está entre a parábola e a reta . Para isso, vamos usar uma integral dupla, que é uma ferramenta de cálculo que permite somar infinitas pequenas áreas para encontrar a área total da região.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se encontram. Isso é importante porque esses pontos vão definir os limites da nossa integração. Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, ou . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos decidir como vamos integrar. Podemos integrar em relação a ou a . Aqui, é mais fácil integrar em relação a , porque para cada valor de , vai variar entre a parábola e a reta.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. A varia de 0 a 8 (os valores das interseções). Para cada , varia da parábola até a reta .
Então, a integral dupla fica:
Á

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos isso na integral externa:
Á
Vamos separar a integral:
Á
Calculando cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Agora, avaliamos de 0 a 8:
Primeira parte:
Segunda parte:
Subtraindo as duas partes:
Á
Mas área não pode ser negativa, então pegamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região compreendida entre a parábola e a reta é aproximadamente unidades quadradas.

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