Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Estamos lidando com limites aqui, mais especificamente comparando como uma função polinomial (
) se comporta em relação a uma função exponencial (
) quando
fica muito grande. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando
tende ao infinito:
- Numerador (
): Conforme cresce, também cresce, indo para . - Denominador (
): O cresce muito mais rápido que , também tendendo para .
Então, temos uma forma do tipo
, que é uma situação perfeita para aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se temos um limite da forma
onde ambos
e
tendem para
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela primeira vez:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, o nosso limite fica:
Passo 4
Vamos analisar novamente o novo limite:
- Numerador (
): Ainda tende para . - Denominador (
): Continua crescendo exponencialmente, indo para .
Temos novamente uma forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital pela segunda vez:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, o limite ficou:
Passo 6
Vamos analisar o limite final:
- Numerador (
): É uma constante. - Denominador (
): Como tende ao infinito, cresce exponencialmente, fazendo com que o denominador vá para .
Assim, temos uma constante dividida por algo que tende ao infinito, o que significa que o limite todo vai para 0.