lim x infty x^22^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Estamos lidando com limites aqui, mais especificamente comparando como uma função polinomial ( ) se comporta em relação a uma função exponencial ( ) quando fica muito grande. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando tende ao infinito:
  • Numerador ( ): Conforme cresce, também cresce, indo para .
  • Denominador ( ): O cresce muito mais rápido que , também tendendo para .
Então, temos uma forma do tipo , que é uma situação perfeita para aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se temos um limite da forma onde ambos e tendem para , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela primeira vez:
  • Derivada do numerador: limx to infty 2x2^x ln 2
  • Derivada do denominador:
Agora, o nosso limite fica:

Passo 4

Vamos analisar novamente o novo limite:
  • Numerador ( ): Ainda tende para .
  • Denominador ( ): Continua crescendo exponencialmente, indo para .
Temos novamente uma forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital pela segunda vez:
  • Derivada do numerador: limx to infty 22^x (ln 2)^2
  • Derivada do denominador:
Agora, o limite ficou:

Passo 6

Vamos analisar o limite final:
  • Numerador ( ): É uma constante.
  • Denominador ( ): Como tende ao infinito, cresce exponencialmente, fazendo com que o denominador vá para .
Assim, temos uma constante dividida por algo que tende ao infinito, o que significa que o limite todo vai para 0.

Resposta

lim x infty x^22^x = 0

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