Esboce o gráfico de
seguindo o seguinte roteiro:
(g) Baseado nos itens acima, trace o esboço do gráfico de
.
(g) Baseado nos itens acima, trace o esboço do gráfico de
Passo 1
Beleza, então a gente tem que esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conceitos de gráficos de funções, como interceptos, assíntotas, derivadas para achar máximos e mínimos, e comportamento da função. Vamos precisar entender como cada parte dessa função influencia no gráfico final.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é onde a função está “valida”, ou seja, para quais valores de
a função existe. Olhando para
, vemos que o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Então, o domínio de
é todos os números reais exceto
. Isso porque quando
,
não está definida.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os interceptos da função com os eixos
e
.
Intercepto com o eixo
: É onde
. Porém, já vimos que
não está no domínio, então não há intercepto com o eixo
.
Interceptos com o eixo
: São os valores de
onde
.
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então vamos deixar isso para depois, talvez usando aproximações ou análise gráfica.
Passo 5
Vamos analisar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
Assíntota vertical: Ocorre onde a função não está definida, ou seja,
. Então, temos uma assíntota vertical em
.
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento de
quando
vai para
e
.
Não há assíntota horizontal porque a função cresce sem limites positivos ou negativos.
Passo 6
Vamos derivar a função para encontrar pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada de
é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são em
e
.
Passo 7
Vamos analisar a segunda derivada para determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Analisando
:
- Para
, : concavidade para cima. - Para
, : concavidade para baixo.
Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda de forma que crie um ponto de inflexão no gráfico.
Passo 8
Vamos agora calcular alguns valores de
para entender melhor o comportamento do gráfico.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntota vertical em
. - Pontos críticos em
e . - Concavidade para cima quando
e para baixo quando . - A função tende a
quando vai para e a quando vai para . - Pontos calculados adicionais ajudam a definir a forma do gráfico.
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta uma assíntota vertical em
, com a função aumentando para
quando
vai para
e diminuindo para
quando
vai para
. Existem pontos críticos nos pontos
e
, com a concavidade mudando de para cima em
para para baixo em
. O gráfico passa pelos pontos calculados e segue as regras de comportamento estabelecidas, resultando em um gráfico que reflete essas características.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
seguindo o seguinte roteiro:
(f) Estude as assíntotas.
(f) Estude as assíntotas.
Esboce o gráfico de
seguindo o seguinte roteiro:
(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local
(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local
Para a função
cujo gráfico é fornecido, determine um número
que satisfaça cada condição.
mas
.
Calcule os valores de
.