Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(g) Baseado nos itens acima, trace o esboço do gráfico de .

Passo 1

Beleza, então a gente tem que esboçar o gráfico da função . Vamos usar conceitos de gráficos de funções, como interceptos, assíntotas, derivadas para achar máximos e mínimos, e comportamento da função. Vamos precisar entender como cada parte dessa função influencia no gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é onde a função está “valida”, ou seja, para quais valores de a função existe. Olhando para , vemos que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Então, o domínio de é todos os números reais exceto . Isso porque quando , não está definida.
í

Passo 4

Agora, vamos encontrar os interceptos da função com os eixos e .
Intercepto com o eixo : É onde . Porém, já vimos que não está no domínio, então não há intercepto com o eixo .
Interceptos com o eixo : São os valores de onde .
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então vamos deixar isso para depois, talvez usando aproximações ou análise gráfica.

Passo 5

Vamos analisar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
Assíntota vertical: Ocorre onde a função não está definida, ou seja, . Então, temos uma assíntota vertical em .
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento de quando vai para e .
Não há assíntota horizontal porque a função cresce sem limites positivos ou negativos.

Passo 6

Vamos derivar a função para encontrar pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada de é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são em e .

Passo 7

Vamos analisar a segunda derivada para determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Analisando :
  • Para , : concavidade para cima.
  • Para , : concavidade para baixo.
Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda de forma que crie um ponto de inflexão no gráfico.

Passo 8

Vamos agora calcular alguns valores de para entender melhor o comportamento do gráfico.
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 9

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntota vertical em .
  • Pontos críticos em e .
  • Concavidade para cima quando e para baixo quando .
  • A função tende a quando vai para e a quando vai para .
  • Pontos calculados adicionais ajudam a definir a forma do gráfico.

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta uma assíntota vertical em , com a função aumentando para quando vai para e diminuindo para quando vai para . Existem pontos críticos nos pontos e , com a concavidade mudando de para cima em para para baixo em . O gráfico passa pelos pontos calculados e segue as regras de comportamento estabelecidas, resultando em um gráfico que reflete essas características.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(f) Estude as assíntotas.
Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local
Para a função cujo gráfico é fornecido, determine um número que satisfaça cada condição. mas .
Calcule os valores de .