Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir se os pontos críticos da função são de máximo ou mínimo local. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas. Precisamos encontrar onde a derivada primeira é zero (pontos críticos) e analisar a derivada segunda para determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função, que nos ajudará a encontrar os pontos críticos. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde . Então, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, vamos usar a derivada segunda da função. Primeiro, encontramos a derivada segunda :

Passo 5

Agora, avaliamos a derivada segunda nos pontos críticos e :
  • Para :
Como , isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, temos um mínimo local em .
  • Para :
Como , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, temos um máximo local em .

Resposta

Os pontos críticos da função são (mínimo local) e (máximo local).

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(d) Determine os onde a função é côncava para cima e onde é côncava para baixo, bem como os eventuais pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
© Determine onde a função é crescente e onde é decrescente.
Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(f) Estude as assíntotas.
Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(g) Baseado nos itens acima, trace o esboço do gráfico de .