Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
para
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função
e a gente precisa esboçar os gráficos dessa função para três valores diferentes de
: 0, 1 e -2. O conteúdo que vamos usar envolve simetrias, transformações verticais e horizontais, e reflexões. A ideia é entender como cada alteração no valor de
e no coeficiente 5 afeta o gráfico da função básica
.
Passo 2
Vamos começar lembrando como é o gráfico da função básica
. Essa função tem um gráfico que começa no ponto (0,0) e vai subindo para a direita, formando uma curva suave. Ela está definida apenas para
porque não dá para tirar raiz quadrada de números negativos dentro dos números reais.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o coeficiente 5 na frente da raiz. Quando a gente multiplica a função por um número maior que 1, no caso 5, isso faz uma transformação vertical de estiramento. Basicamente, a curva da função fica mais “esticada” para cima, aumentando os valores de
. A função agora é
, que sobe mais rápido que a original.
Passo 4
Em seguida, temos o termo
dentro da raiz. Esse é responsável por uma transformação horizontal. Dependendo do valor de
, a função vai se deslocar para a direita ou para a esquerda no gráfico:
- Se
for positivo, a função se move para a direita. - Se
for negativo, a função se move para a esquerda.
Isso acontece porque estamos “ajustando” o ponto onde a função começa, ou seja, onde
.
Passo 5
Vamos aplicar isso para cada valor de
:
-
Para
: A função é . Não há deslocamento horizontal. O gráfico começa no ponto (0,0) e se estica verticalmente por 5. -
Para
: A função fica . Aqui, a função se desloca 1 unidade para a direita. Então, o ponto de início passa a ser (1,0) em vez de (0,0), e a curva ainda está esticada verticalmente por 5. -
Para
: Agora, a função é . Como é negativo, a função se move 2 unidades para a esquerda. O ponto de início fica em (-2,0), mantendo o estiramento vertical.
Passo 6
Quanto às simetrias e reflexões, nesse caso específico a função
não apresenta simetria em relação ao eixo y nem reflexões, já que todas as transformações envolvem apenas esticamento vertical e deslocamento horizontal. A função permanece sempre crescente e só existe para
.
Resposta
Os gráficos das funções
para
,
e
são todos representações da função raiz quadrada esticada verticalmente por um fator de 5. Para
, o gráfico começa no ponto (0,0). Para
, o gráfico se desloca 1 unidade para a direita, começando em (1,0). E para
, o gráfico se move 2 unidades para a esquerda, iniciando em (-2,0). Em todos os casos, a curva sobe mais rapidamente devido ao estiramento vertical.
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