Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x) = 5 * raiz(x - c) para c = 0, 1, -2.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função e a gente precisa esboçar os gráficos dessa função para três valores diferentes de : 0, 1 e -2. O conteúdo que vamos usar envolve simetrias, transformações verticais e horizontais, e reflexões. A ideia é entender como cada alteração no valor de e no coeficiente 5 afeta o gráfico da função básica .

Passo 2

Vamos começar lembrando como é o gráfico da função básica . Essa função tem um gráfico que começa no ponto (0,0) e vai subindo para a direita, formando uma curva suave. Ela está definida apenas para porque não dá para tirar raiz quadrada de números negativos dentro dos números reais.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o coeficiente 5 na frente da raiz. Quando a gente multiplica a função por um número maior que 1, no caso 5, isso faz uma transformação vertical de estiramento. Basicamente, a curva da função fica mais “esticada” para cima, aumentando os valores de . A função agora é , que sobe mais rápido que a original.

Passo 4

Em seguida, temos o termo dentro da raiz. Esse é responsável por uma transformação horizontal. Dependendo do valor de , a função vai se deslocar para a direita ou para a esquerda no gráfico:
  • Se for positivo, a função se move para a direita.
  • Se for negativo, a função se move para a esquerda.
Isso acontece porque estamos “ajustando” o ponto onde a função começa, ou seja, onde .

Passo 5

Vamos aplicar isso para cada valor de :
  • Para : A função é . Não há deslocamento horizontal. O gráfico começa no ponto (0,0) e se estica verticalmente por 5.
  • Para : A função fica . Aqui, a função se desloca 1 unidade para a direita. Então, o ponto de início passa a ser (1,0) em vez de (0,0), e a curva ainda está esticada verticalmente por 5.
  • Para : Agora, a função é . Como é negativo, a função se move 2 unidades para a esquerda. O ponto de início fica em (-2,0), mantendo o estiramento vertical.

Passo 6

Quanto às simetrias e reflexões, nesse caso específico a função não apresenta simetria em relação ao eixo y nem reflexões, já que todas as transformações envolvem apenas esticamento vertical e deslocamento horizontal. A função permanece sempre crescente e só existe para .

Resposta

Os gráficos das funções para , e são todos representações da função raiz quadrada esticada verticalmente por um fator de 5. Para , o gráfico começa no ponto (0,0). Para , o gráfico se desloca 1 unidade para a direita, começando em (1,0). E para , o gráfico se move 2 unidades para a esquerda, iniciando em (-2,0). Em todos os casos, a curva sobe mais rapidamente devido ao estiramento vertical.

Exercícios relacionados

Encontre o domínio de:
h(x) = ln(x^x).
Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x) = ln(x + c) para c = 0, 1, -2.
Encontre o domínio de:
f(x) = (x^2 - 5x + 6)^x.
Esboce o gráfico de:
f(x) = { x^2, se x <= 1; 2 - (x - 2)^2, se x > 1 }