Esboce o gráfico da função:
ccc x^2-1, & se & -1 <= x<0 2 x, & se & 0
(h) Existe lim x 1 f(x) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de saber se existe o limite de quando se aproxima de 1. Para isso, vamos lembrar que o limite de uma função em um ponto existe se os limites pela esquerda e pela direita nesse ponto forem iguais. Então, vamos precisar calcular esses dois limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 1^- f(x) = limx to 1^- 2x = 2 times 1 = 2 quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, quando está chegando perto de 1 vindo dos valores menores que 1. De acordo com a função dada, para , temos .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (-2x + 4) = -2 times 1 + 4 = 2 quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, quando está chegando perto de 1 vindo dos valores maiores que 1. Segundo a função, para , temos .
Então,

Passo 4

Agora que temos os dois limites:
limx to 1^- f(x) = 2 limx to 1^+ f(x) = 2
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 existe.

Resposta

Sim, o limite existe e é igual a 2.

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