Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, . O objetivo é calcular as segundas derivadas parciais , , e , e depois verificar se o Teorema de Schwarz vale para essa função. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções de várias variáveis e entender o que diz o Teorema de Schwarz.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é:
Aplicando a regra da cadeia para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Então, a primeira derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso significa derivar novamente em relação a .
Temos:
Derivando a primeira parte:
Usamos a regra da cadeia novamente:
Derivando a segunda parte:
Então, a segunda derivada parcial em relação a é:
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Aplicando a regra da cadeia para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Então, a primeira derivada parcial em relação a é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso significa derivar novamente em relação a .
Temos:
Derivando a primeira parte, usamos a regra do produto:
Simplificando:
A segunda derivada parcial em relação a é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a .
Lembrando que:
Derivando em relação a :
Para a primeira parte, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Para a segunda parte:
Então, é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a .
Lembrando que:
Derivando em relação a :
Para a primeira parte, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Para a segunda parte:
Então, é:
Resposta
Calculamos todas as derivadas e verificamos que:
Portanto, o Teorema de Schwarz é válido para esta função, já que as derivadas parciais mistas são iguais.