Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(ii) f(x, y) = arctan(x - 2y), no ponto (2,1 / 2, f(2,1 / 2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor de . Substituindo os valores na função:
Então, o ponto onde vamos tangenciar o gráfico é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
Já a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto . Primeiro, calculamos :
Então,

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo , e :

Resposta

Simplificando a equação acima, temos:
Então, a equação do plano tangente é:

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