Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos esboçar seu gráfico. Além disso, a pergunta específica é: “f é contínua em ?”. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e analisar os limites laterais da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
A função está definida em , ou seja, existe.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para f(x) = x^2-1, & se -1 <= x < 0 2x, & se 0 < x < 1 1, & se x = 1 -2x + 4, & se 1 < x < 2 0, & se 2 < x < 3 :
A função está definida em limx to 2^- (-2x + 4) = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0 ?
Observando a definição da função:
limx to 2^+ 0 = 0
Não há definição para . Ou seja, não está definido.
O limite de quando se aproxima de 2 existe?
Vamos calcular os limites laterais:
Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ():
Aqui, usamos a parte da função para :
Limite quando se aproxima de 2 pela direita ():
Aqui, usamos a parte da função para :
Ambos os limites laterais são iguais a 0, então o limite geral existe e é igual a 0.
O limite é igual ao valor da função em ?
Já vimos que o limite é 0, mas não está definido. Para a função ser contínua, elas precisam ser iguais. Como não existe, essa condição não é satisfeita.