Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
©
©
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para calcularmos as segundas derivadas parciais
,
,
e
da função
. Além disso, vamos verificar se o Teorema de Schwarz é válido para essa função. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo diferencial, especialmente de derivadas parciais e da aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar:
Vamos chamar o argumento do arco-tangente de
:
Assim, podemos reescrever
como:
Para achar as derivadas parciais de
em relação a
e
, vamos usar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Pela regra da cadeia:
Agora, precisamos calcular
:
Usamos a regra do quociente para derivar
em relação a
:
Simplificando:
Então, a primeira derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial
. Precisamos derivar
em relação a
:
Isso envolve aplicar a regra do produto e a regra da cadeia novamente. Primeiro, vamos derivar
:
Já sabemos que
, então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Assim, juntando tudo:
Passo 5
Vamos calcular agora a derivada parcial mista
. Primeiramente, já temos
:
Vamos derivar
em relação a
:
Aplicamos novamente a regra do produto e da cadeia. Derivamos
em relação a
:
Primeiro, calculamos
:
Simplificando:
Então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Portanto:
Passo 6
Vamos encontrar
derivando
em relação a
. Primeiro, precisamos achar
:
Já calculamos
, então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Aplicamos a regra do produto e da cadeia novamente. Derivamos
em relação a
:
E derivamos
em relação a
:
Assim, temos:
Passo 7
Por último, vamos calcular
. De forma semelhante aos passos anteriores, derivamos
em relação a
:
Aplicamos a regra do produto e da cadeia:
Isso envolve derivar a parte complexa, mas o processo é análogo ao que fizemos para
. Após os cálculos, obteremos:
Passo 8
Agora que temos todas as segundas derivadas parciais
,
,
e
, vamos verificar o Teorema de Schwarz. Esse teorema diz que, se as segundas derivadas parciais mistas são contínuas em um ponto, então
nesse ponto.
Observando as expressões de
e
, vemos que elas são iguais:
Portanto, o Teorema de Schwarz é válido para essa função.
Resposta
Calculamos as segundas derivadas parciais da função
e verificamos que
, confirmando que o Teorema de Schwarz é válido para essa função.