Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
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Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para calcularmos as segundas derivadas parciais , , e da função . Além disso, vamos verificar se o Teorema de Schwarz é válido para essa função. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo diferencial, especialmente de derivadas parciais e da aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar:
Vamos chamar o argumento do arco-tangente de :
Assim, podemos reescrever como:
Para achar as derivadas parciais de em relação a e , vamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Pela regra da cadeia:
Agora, precisamos calcular :
Usamos a regra do quociente para derivar em relação a :
Simplificando:
Então, a primeira derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial . Precisamos derivar em relação a :
Isso envolve aplicar a regra do produto e a regra da cadeia novamente. Primeiro, vamos derivar :
Já sabemos que , então:
Agora, derivamos em relação a :
Assim, juntando tudo:

Passo 5

Vamos calcular agora a derivada parcial mista . Primeiramente, já temos :
Vamos derivar em relação a :
Aplicamos novamente a regra do produto e da cadeia. Derivamos em relação a :
Primeiro, calculamos :
Simplificando:
Então:
Agora, derivamos em relação a :
Simplificando:
Portanto:

Passo 6

Vamos encontrar derivando em relação a . Primeiro, precisamos achar :
Já calculamos , então:
Agora, derivamos em relação a :
Aplicamos a regra do produto e da cadeia novamente. Derivamos em relação a :
E derivamos em relação a :
Assim, temos:

Passo 7

Por último, vamos calcular . De forma semelhante aos passos anteriores, derivamos em relação a :
Aplicamos a regra do produto e da cadeia:
Isso envolve derivar a parte complexa, mas o processo é análogo ao que fizemos para . Após os cálculos, obteremos:

Passo 8

Agora que temos todas as segundas derivadas parciais , , e , vamos verificar o Teorema de Schwarz. Esse teorema diz que, se as segundas derivadas parciais mistas são contínuas em um ponto, então nesse ponto.
Observando as expressões de e , vemos que elas são iguais:
Portanto, o Teorema de Schwarz é válido para essa função.

Resposta

Calculamos as segundas derivadas parciais da função e verificamos que , confirmando que o Teorema de Schwarz é válido para essa função.

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Esboce o gráfico da função:
(k) é contínua em ?
Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(b)
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(a)
Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(d)