Esboce o gráfico da função
f(x)= 1+x, & x<-1 x^2, & -1 <= x<1 2-x, & x >= 1
e use-o para determinar (se existir)
lim x 1^+ f(x)

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada que é definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função e usar esse desenho para encontrar o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ). Vamos precisar entender funções por partes, saber desenhar gráficos e calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função :
  1. Para :
    • Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 1.
  2. Para :
    • Essa é uma parábola que abre para cima.
  3. Para :
    • Essa é uma reta com inclinação -1 e intercepto em 2.

Passo 3

Vamos desenhar cada parte no gráfico:
  • Para :
    • Quando , .
    • Quando se aproxima de -1, se aproxima de 0.
    • Então, temos uma reta que vai de baixo para cima até o ponto (-1, 0).
  • Para :
    • Essa é a parábola .
    • No ponto , .
    • No ponto , , mas não está incluído nessa parte.
    • Então, desenhamos a parábola entre (-1, 1) e (1, 1).
  • Para :
    • Quando , .
    • Quando aumenta, diminui linearmente.
    • Então, temos uma reta que começa no ponto (1, 1) e vai descendo para a direita.

Passo 4

Agora, vamos juntar essas partes no gráfico:
  • A primeira reta vai de (-∞, -1) até (-1, 0).
  • A parábola vai de (-1, 1) até (1, 1).
  • A segunda reta começa em (1, 1) e desce à medida que aumenta.
O gráfico fica assim:
|
2 |            /
1 |---\---(1,1)---/
0 | (-1,0)
  |_________________

Passo 5

Para encontrar limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (2 - x) = 2 - 1 = 1 , olhamos para os valores de quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, para valores de um pouco maiores que 1.
  • Na parte , a função é .
  • Quando se aproxima de 1 pela direita, substituímos:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 1 pela direita é igual a 1.

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