Dado que
lim x 2 f(x)=4 lim x 2 g(x)=-2 lim x 2 h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
lim x 2 ln [g(x)]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três limites dados:
lim x 2 f(x)=4, lim x 2 g(x)=-2, lim x 2 h(x)=0
E queremos encontrar o limite:
lim x 2 ln [g(x)]
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites e a função logarítmica natural ( ln). Para resolver isso, precisamos entender como aplicar o limite dentro da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com g(x) quando x se aproxima de 2. Sabemos que:
lim x 2 g(x) = -2
Isso significa que, à medida que x se aproxima de 2, g(x) se aproxima de -2.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite da função logarítmica aplicada a g(x):
lim x 2 ln [g(x)]
Para que este limite exista no conjunto dos números reais, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, porque o logaritmo natural não está definido para números negativos ou zero.

Passo 4

Como vimos no Passo 2, g(x) se aproxima de -2 quando x se aproxima de 2. Portanto, estamos tentando calcular ln(-2).

Passo 5

No conjunto dos números reais, ln(-2) não está definido, pois o logaritmo natural só aceita números positivos como entrada. Isso significa que a expressão ln [g(x)] não é válida quando g(x) se aproxima de -2.

Resposta

O limite lim x 2 ln [g(x)] não existe, pois o logaritmo natural de um número negativo não está definido nos números reais.

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