Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três limites dados:
E queremos encontrar o limite:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites e a função logarítmica natural (
). Para resolver isso, precisamos entender como aplicar o limite dentro da função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que acontece com
quando
se aproxima de 2. Sabemos que:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de 2,
se aproxima de -2.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite da função logarítmica aplicada a
:
Para que este limite exista no conjunto dos números reais, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, porque o logaritmo natural não está definido para números negativos ou zero.
Passo 4
Como vimos no Passo 2,
se aproxima de -2 quando
se aproxima de 2. Portanto, estamos tentando calcular
.
Passo 5
No conjunto dos números reais,
não está definido, pois o logaritmo natural só aceita números positivos como entrada. Isso significa que a expressão
não é válida quando
se aproxima de -2.
Resposta
O limite
não existe, pois o logaritmo natural de um número negativo não está definido nos números reais.