Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de u ).
(a) integral3^6(4 x-1) d x,

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver a integral integral3^6(4 x-1) d x. O exercício pede para verificarmos se podemos aplicar o Teorema da Média Integral para funções contínuas e, se sim, encontrar um ponto que satisfaça a condição do teorema. Esse teorema nos ajuda a encontrar um valor médio da função no intervalo considerado.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se a função f(x) = 4x - 1 é contínua no intervalo [3, 6]. Como f(x) é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todos os pontos, então o teorema pode ser aplicado.

Passo 3

O Teorema da Média Integral afirma que existe pelo menos um ponto c no intervalo [3, 6] tal que:
f(c) = 1b - a integrala^b f(x) dx
Onde a = 3 e b = 6.

Passo 4

Vamos calcular a integral integral3^6(4x - 1) dx:
integral (4x - 1) dx = 2x^2 - x + C
Agora, avaliamos de 3 a 6:
[2x^2 - x]3^6 = (2 cdot 6^2 - 6) - (2 cdot 3^2 - 3) = (72 - 6) - (18 - 3) = 66 - 15 = 51

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do teorema:
f(c) = 16 - 3 cdot 51 = 513 = 17
Portanto, buscamos um valor de c no intervalo [3, 6] tal que:
4c - 1 = 17

Passo 6

Resolvendo para c:
4c - 1 = 17 4c = 18 c = 184 = 4,5

Resposta

O ponto que satisfaz o teorema da média integral é c = 4,5.

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