Esboce o gráfico de uma função g para a qual g(0) = g'(0) = 0, g'(-1) = -1, g'(1) = 3, e g'(2) = 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas e comportamento das funções em determinados pontos. Vamos precisar interpretar as derivadas fornecidas para entender a inclinação da função nesses pontos e usar isso para desenhar o gráfico.

Passo 2

Vamos começar analisando o valor de . Isso significa que a função passa pela origem do gráfico, no ponto .

Passo 3

Em seguida, observamos . A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Se , isso indica que a reta tangente é horizontal no ponto , sugerindo um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

Passo 4

Agora, vamos olhar para . Isso significa que no ponto , a inclinação da função é negativa, ou seja, a função está decrescendo nesse ponto. A inclinação de -1 indica que para cada unidade que nos movemos para a direita, o valor da função diminui em 1 unidade.

Passo 5

Em , a inclinação da função no ponto é positiva e relativamente íngreme. Isso significa que a função está crescendo rapidamente nesse ponto. Para cada unidade que nos movemos para a direita a partir de , o valor da função aumenta em 3 unidades.

Passo 6

Por fim, nos diz que no ponto , a inclinação da função é positiva, mas menos inclinada que em . A função ainda está crescendo nesse ponto, aumentando 1 unidade para cada unidade que nos movemos para a direita.

Resposta

Com base nas informações fornecidas sobre as derivadas e o valor de , podemos esboçar o gráfico da função considerando os seguintes pontos e inclinações:
  • A função passa pela origem com uma reta tangente horizontal.
  • Em , a função está decrescendo com inclinação -1.
  • Em , a função está crescendo rapidamente com inclinação 3.
  • Em , a função continua crescendo, mas com uma inclinação menor de 1.
O esboço resultante mostrará uma curva que desce de até , onde atinge um ponto estacionário, e depois sobe acentuadamente em antes de suavizar sua inclinação em .

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