Considere a função
.
(4 pontos) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) e identifique-o(s) (máximo ou mínimo?).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir onde ela tem extremos relativos, ou seja, pontos onde a função atinge um valor máximo ou mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a inclinação da função é zero.
Passo 2
O próximo passo é calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo. Se a derivada for igual a zero em algum ponto, esse ponto pode ser um extremo relativo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para isso, usaremos a regra do quociente, que diz:
Onde
e
.
Passo 4
Primeiro, calculamos
e
:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo os dois resultados:
Então, a derivada simplificada fica:
Passo 6
Para encontrar os pontos onde a derivada é zero, igualamos
a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Passo 7
Agora, para determinar se esse ponto
é um máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor desse ponto. Vamos optar pelo teste da primeira derivada.
Analisando
:
- Para
, por exemplo : - Para
, por exemplo :
Como a função passa de crescente para decrescente em
, isso indica que há um máximo relativo nesse ponto.
Resposta
A função
possui um extremo relativo em
, que é um máximo relativo.
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, determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo.
Considere a função
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Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)
(a)
(b)
Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de
para os quais
existe: