Considere a função . (4 pontos) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) e identifique-o(s) (máximo ou mínimo?).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir onde ela tem extremos relativos, ou seja, pontos onde a função atinge um valor máximo ou mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a inclinação da função é zero.

Passo 2

O próximo passo é calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo. Se a derivada for igual a zero em algum ponto, esse ponto pode ser um extremo relativo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Para isso, usaremos a regra do quociente, que diz:
Onde e .

Passo 4

Primeiro, calculamos e :
Agora aplicamos a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo os dois resultados:
Então, a derivada simplificada fica:

Passo 6

Para encontrar os pontos onde a derivada é zero, igualamos a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:

Passo 7

Agora, para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor desse ponto. Vamos optar pelo teste da primeira derivada.
Analisando :
  • Para , por exemplo : çãá
  • Para , por exemplo : çãá
Como a função passa de crescente para decrescente em , isso indica que há um máximo relativo nesse ponto.

Resposta

A função possui um extremo relativo em , que é um máximo relativo.

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Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)
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