Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é esboçar o gráfico dessa função e usar esse esboço para determinar os valores de para os quais existe pelo menos um valor de que satisfaz . Basicamente, queremos encontrar o conjunto dos valores que a função pode assumir, ou seja, a sua imagem.
Passo 2
Vamos analisar cada parte da função separadamente para entender quais valores de são possíveis em cada intervalo de .
Para :
A função é .
Como é menor que -1, será sempre menor que 0.
Portanto, nesse intervalo.
Para :
A função é .
O menor valor de é 0 (quando ) e o maior é (quando ).
Então, nesse intervalo.
Para :
A função é .
Como é maior ou igual a 1, será sempre menor ou igual a 1 e tendendo a menos infinito conforme aumenta.
Portanto, nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos resumir as informações:
Para :
Para :
Para :
Observamos que a função atinge todos os valores menores que 1 e igual a 1. O valor 1 é alcançado nos limites dos intervalos.
Passo 4
Com base nisso, os valores de para os quais existe pelo menos um tal que são todos os números reais menores ou iguais a 1.
Ou seja, .
Resposta
Os valores de para os quais existe pelo menos um que satisfaz são todos os números reais menores ou iguais a 1. Portanto, .