Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é esboçar o gráfico dessa função e usar esse esboço para determinar os valores de para os quais existe pelo menos um valor de que satisfaz . Basicamente, queremos encontrar o conjunto dos valores que a função pode assumir, ou seja, a sua imagem.

Passo 2

Vamos analisar cada parte da função separadamente para entender quais valores de são possíveis em cada intervalo de .
  1. Para :
    A função é .
    Como é menor que -1, será sempre menor que 0.
    Portanto, nesse intervalo.
  2. Para :
    A função é .
    O menor valor de é 0 (quando ) e o maior é (quando ).
    Então, nesse intervalo.
  3. Para :
    A função é .
    Como é maior ou igual a 1, será sempre menor ou igual a 1 e tendendo a menos infinito conforme aumenta.
    Portanto, nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos resumir as informações:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que a função atinge todos os valores menores que 1 e igual a 1. O valor 1 é alcançado nos limites dos intervalos.

Passo 4

Com base nisso, os valores de para os quais existe pelo menos um tal que são todos os números reais menores ou iguais a 1.
Ou seja, .

Resposta

Os valores de para os quais existe pelo menos um que satisfaz são todos os números reais menores ou iguais a 1. Portanto, .

Exercícios relacionados

Seja definida por
A função está definida em ? Justifique.
Encontre .
.
Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
(b) Enuncie precisamente o teorema usado no item a).