Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função definida por partes e, usando esse gráfico, descobrir para quais valores de o limite existe. Para isso, vamos precisar entender como a função é construída e como os limites funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que a função tem três partes diferentes dependendo do valor de . Vamos esboçar cada parte:
Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 1.
Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
Para : Novamente, a função é , a mesma reta do primeiro caso.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o gráfico:
Para : A reta passará por pontos como e .
Para : A parábola começa em , passa por e vai até .
Para : A reta começa em e segue para cima.
Observamos que nos pontos e a definição da função muda, então vamos prestar atenção especial nesses pontos.
Passo 4
Para determinar os valores de onde o limite existe, precisamos verificar se os limites laterais (pela esquerda e pela direita) são iguais.
Para e :
Se está dentro de um intervalo onde a função é contínua (ou seja, onde só tem uma fórmula), o limite existe e é igual ao valor da função em .
Nos pontos de mudança ( e ):
Precisamos calcular os limites pela esquerda e pela direita e ver se são iguais.
Passo 5
Vamos calcular os limites nos pontos e :
Para :
Lado esquerdo (): A função é , então:
Lado direito (): A função é , então:
Como , o limite não existe em .
Para :
Lado esquerdo (): A função é , então:
Lado direito (): A função é , então:
Como , o limite não existe em .
Resposta
O limite existe para todo valor de real, exceto quando e . Ou seja, existem para todos os tais que e .