Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função definida por partes e, usando esse gráfico, descobrir para quais valores de o limite existe. Para isso, vamos precisar entender como a função é construída e como os limites funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que a função tem três partes diferentes dependendo do valor de . Vamos esboçar cada parte:
  1. Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 1.
  2. Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
  3. Para : Novamente, a função é , a mesma reta do primeiro caso.

Passo 3

Agora, vamos visualizar o gráfico:
  • Para : A reta passará por pontos como e .
  • Para : A parábola começa em , passa por e vai até .
  • Para : A reta começa em e segue para cima.
Observamos que nos pontos e a definição da função muda, então vamos prestar atenção especial nesses pontos.

Passo 4

Para determinar os valores de onde o limite existe, precisamos verificar se os limites laterais (pela esquerda e pela direita) são iguais.
  1. Para e :
    • Se está dentro de um intervalo onde a função é contínua (ou seja, onde só tem uma fórmula), o limite existe e é igual ao valor da função em .
  2. Nos pontos de mudança ( e ):
    • Precisamos calcular os limites pela esquerda e pela direita e ver se são iguais.

Passo 5

Vamos calcular os limites nos pontos e :
  1. Para :
    • Lado esquerdo ( ): A função é , então:
    • Lado direito ( ): A função é , então:
    • Como , o limite não existe em .
  2. Para :
    • Lado esquerdo ( ): A função é , então:
    • Lado direito ( ): A função é , então:
    • Como , o limite não existe em .

Resposta

O limite existe para todo valor de real, exceto quando e . Ou seja, existem para todos os tais que e .

Exercícios relacionados

Uma vez que se conheça e em um ponto interior do domínio de , você pode determinar ? Justifique sua resposta.
Explique por que a função é descontínua no número .
b) .
Use a definição de derivada para encontrar e . A seguir, trace e em uma mesma tela e verifique se suas respostas são razoáveis.