Use a definição de derivada para encontrar e . A seguir, trace e em uma mesma tela e verifique se suas respostas são razoáveis.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa usar a definição de derivada para encontrar a primeira derivada e a segunda derivada de uma função . Depois disso, vamos plotar os gráficos de , e na mesma tela para ver se os resultados que obtivemos fazem sentido. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e saber como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A definição formal da derivada de em relação a é:
Vamos usar essa definição para encontrar .

Passo 3

Agora, para encontrar a segunda derivada , que é a derivada da derivada, vamos aplicar a definição de derivada novamente em :
Isso nos dará a taxa de variação da inclinação da reta tangente, ou seja, como a inclinação está mudando.

Passo 4

Depois de encontrar e , vamos plotar os gráficos de , e na mesma tela. Isso ajuda a visualizar como a função original e suas derivadas se comportam. Ao sobrepor os gráficos, a gente consegue verificar se as derivadas que calculamos fazem sentido em relação à forma da função original.

Resposta

Seguindo os passos acima, encontramos que a primeira derivada é [insira aqui ] e a segunda derivada é [insira aqui ]. Ao plotar os gráficos de , e juntos, podemos ver que as inclinações e taxas de variação correspondem ao comportamento esperado das derivadas, confirmando que nossas respostas estão razoáveis.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
a)
Uma vez que se conheça e em um ponto interior do domínio de , você pode determinar ? Justifique sua resposta.
Derive a função.