Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. A gente vai usar conceitos de cálculo e álgebra para identificar pontos importantes, como interceptações, máximos e mínimos, e entender como a função se comporta em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Para a interceptação com o eixo y, basta calcular
quando
:
Então, a função intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com o eixo x, ou seja, resolver
:
Isso nos dá duas soluções:
(com multiplicidade 2) e
.
Então, as interceptações com o eixo x são aproximadamente em
,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada é zero, para identificar máximos e mínimos. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero:
As soluções são
e as raízes da equação quadrática
, que são
e
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função nesses pontos críticos:
- Em
: é um ponto de mínimo local. - Em
: ponto de inflexão. - Em
: é um ponto de máximo local.
Calculando os valores de
nesses pontos:
Passo 6
Vamos determinar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
- Para
: a função está crescendo. - Entre
: a função está decrescendo. - Entre
: a função está crescendo. - Para
: a função está decrescendo.
Isso nos ajuda a esboçar o gráfico, mostrando onde a função sobe e desce.
Passo 7
Finalmente, vamos considerar o comportamento da função para
indo para
. Como o termo de maior grau é
, para
muito grande ou muito pequeno,
tende a
.
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico da função
tem interceptações em (0, 0), aproximadamente (1.618, 0) e (-0.618, 0). Possui um ponto de mínimo em (-0.5, -0.0625), um ponto de inflexão em (0, 0) e um ponto de máximo em (2, 4). A função cresce para
, decresce entre
, cresce novamente entre
e decresce para
. Além disso, para valores muito grandes ou muito pequenos de
,
tende ao infinito positivo. Com esses pontos e comportamentos, dá para esboçar o gráfico da função de forma precisa.
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