Esboce o gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . A gente vai usar conceitos de cálculo e álgebra para identificar pontos importantes, como interceptações, máximos e mínimos, e entender como a função se comporta em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Para a interceptação com o eixo y, basta calcular quando :
Então, a função intercepta o eixo y no ponto (0, 0).

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com o eixo x, ou seja, resolver :
Isso nos dá duas soluções: (com multiplicidade 2) e .
Então, as interceptações com o eixo x são aproximadamente em , e .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada é zero, para identificar máximos e mínimos. Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero:
As soluções são e as raízes da equação quadrática , que são e .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função nesses pontos críticos:
  • Em : é um ponto de mínimo local.
  • Em : ponto de inflexão.
  • Em : é um ponto de máximo local.
Calculando os valores de nesses pontos:

Passo 6

Vamos determinar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  • Para : a função está crescendo.
  • Entre : a função está decrescendo.
  • Entre : a função está crescendo.
  • Para : a função está decrescendo.
Isso nos ajuda a esboçar o gráfico, mostrando onde a função sobe e desce.

Passo 7

Finalmente, vamos considerar o comportamento da função para indo para . Como o termo de maior grau é , para muito grande ou muito pequeno, tende a .

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico da função tem interceptações em (0, 0), aproximadamente (1.618, 0) e (-0.618, 0). Possui um ponto de mínimo em (-0.5, -0.0625), um ponto de inflexão em (0, 0) e um ponto de máximo em (2, 4). A função cresce para , decresce entre , cresce novamente entre e decresce para . Além disso, para valores muito grandes ou muito pequenos de , tende ao infinito positivo. Com esses pontos e comportamentos, dá para esboçar o gráfico da função de forma precisa.

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