Prove:
Proposição : Seja f uma função contínua no intervalo
e derivável em
.
i. Se
para todo
, então
é crescemte em
ii. Se
para todo
, então
é decrescemte em
Proposição : Seja f uma função contínua no intervalo
i. Se
ii. Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde precisamos provar duas coisas sobre uma função
que é contínua no intervalo
e derivável em
. A primeira parte quer que a gente mostre que se a derivada de
é sempre positiva nesse intervalo, então
é crescente. A segunda parte é o contrário: se a derivada é sempre negativa, então
é decrescente. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e propriedades de funções contínuas e deriváveis, para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte: se
para todo
, então
é crescente em
. Primeiro, lembre-se que a derivada
nos dá a inclinação da tangente à curva de
no ponto
. Se
, isso significa que a função está subindo naquele ponto.
Passo 3
Para provar que
é crescente, precisamos mostrar que para quaisquer dois pontos
e
em
com
, temos
. Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio, que nos diz que existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Passo 4
Como sabemos que
(pela hipótese), podemos reescrever a equação do Teorema do Valor Médio assim:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo porque
), obtemos:
Ou seja:
Isso mostra que
está realmente aumentando de
para
.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: se
para todo
, então
é decrescente em
. A lógica é bem parecida com a primeira parte. Se
, a função está descendo naquele ponto.
Passo 6
Usando novamente o Teorema do Valor Médio, existe um ponto
em
tal que:
Mas agora,
, então:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo), temos:
Ou seja:
Isso mostra que
está diminuindo de
para
.
Resposta
Com isso, provamos que:
i. Se para todo
, então
é crescente em
.
ii. Se para todo
, então
é decrescente em
.
i. Se
ii. Se