Prove:
Proposição : Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b).
i. Se f'(x) > 0 para todo x in (a, b), então f é crescemte em [a, b]
ii. Se f'(x) < 0 para todo x in (a, b), então f é decrescemte em [a, b]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde precisamos provar duas coisas sobre uma função que é contínua no intervalo e derivável em . A primeira parte quer que a gente mostre que se a derivada de é sempre positiva nesse intervalo, então é crescente. A segunda parte é o contrário: se a derivada é sempre negativa, então é decrescente. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e propriedades de funções contínuas e deriváveis, para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: se para todo , então é crescente em . Primeiro, lembre-se que a derivada nos dá a inclinação da tangente à curva de no ponto . Se , isso significa que a função está subindo naquele ponto.

Passo 3

Para provar que é crescente, precisamos mostrar que para quaisquer dois pontos e em com , temos . Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio, que nos diz que existe pelo menos um ponto em tal que:

Passo 4

Como sabemos que (pela hipótese), podemos reescrever a equação do Teorema do Valor Médio assim:
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo porque ), obtemos:
Ou seja:
Isso mostra que está realmente aumentando de para .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: se para todo , então é decrescente em . A lógica é bem parecida com a primeira parte. Se , a função está descendo naquele ponto.

Passo 6

Usando novamente o Teorema do Valor Médio, existe um ponto em tal que:
Mas agora, , então:
Multiplicando ambos os lados por (positivo), temos:
Ou seja:
Isso mostra que está diminuindo de para .

Resposta

Com isso, provamos que:
i. Se para todo , então é crescente em .
ii. Se para todo , então é decrescente em .

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