Esboce o gráfico das funções abaixo analisando: 1.Domínio, 2.Interseção com os eixos, 3.Simetria, 4. Assíntotas, 5.Pontos críticos, 6.Valores críticos, 7.Derivada segunda, concavidade e inflexão
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. A gente vai analisar vários aspectos dessa função, como domínio, interseções com os eixos, simetria, assíntotas, pontos críticos, valores críticos, derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra e cálculo, especialmente derivadas.
Passo 2
1. Dominio
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os números que podemos colocar em
sem causar problemas, como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo. No caso de
, não temos nenhuma restrição como essas, então o domínio é todos os números reais.
Passo 3
2. Interseção com os Eixos
Vamos encontrar onde a função cruza os eixos
e
.
- Interseção com o eixo
: Acontece quando .
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
- Interseção com o eixo
: Ocorre quando .
Vamos resolver essa equação.
Passo 4
Resolvendo
:
Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Voltando para
:
Isso nos dá:
Portanto, as interseções com o eixo
são:
Passo 5
3. Simetria
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma.
Uma função é par se
.
Testando:
Então, a função é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo
.
Passo 6
4. Assíntotas
Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para polinômios, como
, não existem assíntotas horizontais ou verticais porque os polinômios são definidos para todos os
e crescem para
ou
.
Passo 7
5. Pontos Críticos
Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de
:
Agora, resolvemos
:
Portanto, os pontos críticos estão em
.
Passo 8
6. Valores Críticos
Vamos encontrar os valores de
nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os valores críticos são:
Passo 9
7. Derivada Segunda, Concavidade e Ponto de Inflexão
Vamos calcular a derivada segunda para analisar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Primeiro, a derivada segunda:
Agora, vamos encontrar onde
:
Esses são os candidatos a pontos de inflexão. Para verificar, analisamos o sinal de
:
- Para
, : concavidade para baixo. - Para
, : concavidade para cima.
Então, temos pontos de inflexão em
.
Resposta
Resumindo, o gráfico da função
possui:
- Domínio: Todos os números reais.
- Interseções:
- Com o eixo
em . - Com o eixo
em e .
- Com o eixo
- Simetria: Simétrica em relação ao eixo
. - Assíntotas: Nenhuma.
- Pontos Críticos:
, , . - Concavidade:
- Para
: concava para baixo. - Para
: concava para cima.
- Para
- Pontos de Inflexão:
.
Com todas essas informações, dá para esboçar o gráfico da função mostrando suas principais características.