Esboce o gráfico das funções abaixo analisando: 1.Domínio, 2.Interseção com os eixos, 3.Simetria, 4. Assíntotas, 5.Pontos críticos, 6.Valores críticos, 7.Derivada segunda, concavidade e inflexão
a(x) = x^4 - 8 x^2 + 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . A gente vai analisar vários aspectos dessa função, como domínio, interseções com os eixos, simetria, assíntotas, pontos críticos, valores críticos, derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra e cálculo, especialmente derivadas.

Passo 2

1. Dominio
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os números que podemos colocar em sem causar problemas, como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo. No caso de , não temos nenhuma restrição como essas, então o domínio é todos os números reais.
í

Passo 3

2. Interseção com os Eixos
Vamos encontrar onde a função cruza os eixos e .
  • Interseção com o eixo : Acontece quando .
Então, o ponto de interseção com o eixo é .
  • Interseção com o eixo : Ocorre quando .
Vamos resolver essa equação.

Passo 4

Resolvendo :
Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Voltando para :
Isso nos dá:
Portanto, as interseções com o eixo são:

Passo 5

3. Simetria
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma.
Uma função é par se .
Testando:
Então, a função é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo .

Passo 6

4. Assíntotas
Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para polinômios, como , não existem assíntotas horizontais ou verticais porque os polinômios são definidos para todos os e crescem para ou .
í

Passo 7

5. Pontos Críticos
Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de :
Agora, resolvemos :
Portanto, os pontos críticos estão em .

Passo 8

6. Valores Críticos
Vamos encontrar os valores de nos pontos críticos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os valores críticos são:

Passo 9

7. Derivada Segunda, Concavidade e Ponto de Inflexão
Vamos calcular a derivada segunda para analisar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Primeiro, a derivada segunda:
Agora, vamos encontrar onde :
Esses são os candidatos a pontos de inflexão. Para verificar, analisamos o sinal de :
  • Para , : concavidade para baixo.
  • Para , : concavidade para cima.
Então, temos pontos de inflexão em .

Resposta

Resumindo, o gráfico da função possui:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Interseções:
    • Com o eixo em .
    • Com o eixo em e .
  • Simetria: Simétrica em relação ao eixo .
  • Assíntotas: Nenhuma.
  • Pontos Críticos: , , .
  • Concavidade:
    • Para : concava para baixo.
    • Para : concava para cima.
  • Pontos de Inflexão: .
Com todas essas informações, dá para esboçar o gráfico da função mostrando suas principais características.

Exercícios relacionados