Esboce o gráfico das funções abaixo analisando: 1.Domínio, 2.Interseção com os eixos, 3.Simetria, 4. Assíntotas, 5.Pontos críticos, 6.Valores críticos, 7.Derivada segunda, concavidade e inflexão
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
. Para isso, vamos analisar vários aspectos:
- Domínio: os valores de
que a função aceita. - Interseção com os eixos: onde a função corta o eixo
e o eixo . - Simetria: se o gráfico é simétrico em relação ao eixo
ou à origem. - Assíntotas: linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca.
- Pontos críticos: pontos onde a derivada é zero ou não existe, indicando máximos ou mínimos.
- Valores críticos: os valores de
nos pontos críticos. - Derivada segunda, concavidade e inflexão: ajuda a entender a curvatura do gráfico.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra para o domínio e interseções, e de cálculo (derivadas) para os pontos críticos e concavidade.
Passo 2
1. Domínio
Primeiro, vamos ver para quais valores de
a função está definida. Temos raízes com expoentes fracionários:
-
e
Essas raízes cúbicas estão bem definidas para todos os números reais, inclusive negativos, porque a raiz cúbica de um número negativo é negativa. Portanto, o domínio de
é todo o conjunto dos números reais.
Domínio:
Passo 3
2. Interseção com os eixos
Vamos encontrar onde o gráfico corta os eixos
e
.
-
Interseção com o eixo
: ocorre quando . Então, o gráfico corta o eixono ponto . -
Interseção com o eixo
: ocorre quando . Podemos fatorar:Então,ou . Isso dá ou . Portanto, cortes no eixoem e .
Passo 4
3. Simetria
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
-
Função par:
-
Função ímpar:
Como nenhuma das condições é satisfeita, a função não possui simetria.
Passo 5
4. Assíntotas
Assíntotas são linhas que o gráfico se aproxima quando
tende ao infinito ou a algum valor específico.
Vamos verificar limites quando
tende a
e
:
-
Para
: -
Para
:
Como a função não se aproxima de nenhuma linha reta, não possui assíntotas.
Passo 6
5. Pontos críticos
Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Esses pontos ajudam a identificar máximos e mínimos locais.
Primeiro, vamos calcular a derivada
.
Aplicando a regra da potência:
Simplificando:
Vamos igualar a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Além disso, a derivada não existe quando
, mas já vimos que
está no domínio.
Ponto crítico:
Passo 7
6. Valores críticos
Agora, vamos encontrar o valor de
no ponto crítico
:
Calculando:
Então,
Valor crítico:
Passo 8
7. Derivada segunda, concavidade e inflexão
Aderivada segunda nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.
Vamos calcular a derivada segunda
.
Primeira derivada:
Derivando novamente:
Vamos analisar a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Note que
e
são positivos para
e negativos para
.
Inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não existe.
Como
não é zero para nenhum
real e não existe em
, temos uma possível inflexão em
.
Resposta
Resumindo, o gráfico de
possui:
- Domínio: Todos os números reais.
- Interseções: Corta os eixos
e no ponto e em . - Simetria: Não possui.
- Assíntotas: Não possui.
- Ponto crítico: Em
com valor . - Concavidade: A função é concava para cima e para baixo em diferentes intervalos, com um ponto de inflexão em
.
Com todas essas informações, dá para esboçar o gráfico da função!