Esboce o gráfico das funções abaixo analisando: 1.Domínio, 2.Interseção com os eixos, 3.Simetria, 4. Assíntotas, 5.Pontos críticos, 6.Valores críticos, 7.Derivada segunda, concavidade e inflexão
b(x) = x^(5/3) - 5x^(2/3)

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função . Para isso, vamos analisar vários aspectos:
  1. Domínio: os valores de que a função aceita.
  2. Interseção com os eixos: onde a função corta o eixo e o eixo .
  3. Simetria: se o gráfico é simétrico em relação ao eixo ou à origem.
  4. Assíntotas: linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca.
  5. Pontos críticos: pontos onde a derivada é zero ou não existe, indicando máximos ou mínimos.
  6. Valores críticos: os valores de nos pontos críticos.
  7. Derivada segunda, concavidade e inflexão: ajuda a entender a curvatura do gráfico.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra para o domínio e interseções, e de cálculo (derivadas) para os pontos críticos e concavidade.

Passo 2

1. Domínio
Primeiro, vamos ver para quais valores de a função está definida. Temos raízes com expoentes fracionários:
  • e
Essas raízes cúbicas estão bem definidas para todos os números reais, inclusive negativos, porque a raiz cúbica de um número negativo é negativa. Portanto, o domínio de é todo o conjunto dos números reais.
Domínio:

Passo 3

2. Interseção com os eixos
Vamos encontrar onde o gráfico corta os eixos e .
  • Interseção com o eixo : ocorre quando .
    Então, o gráfico corta o eixo no ponto .
  • Interseção com o eixo : ocorre quando .
    Podemos fatorar:
    Então, ou . Isso dá ou .
    Portanto, cortes no eixo em e .

Passo 4

3. Simetria
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
  • Função par:
  • Função ímpar:
Como nenhuma das condições é satisfeita, a função não possui simetria.

Passo 5

4. Assíntotas
Assíntotas são linhas que o gráfico se aproxima quando tende ao infinito ou a algum valor específico.
Vamos verificar limites quando tende a e :
  • Para :
  • Para :
Como a função não se aproxima de nenhuma linha reta, não possui assíntotas.

Passo 6

5. Pontos críticos
Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Esses pontos ajudam a identificar máximos e mínimos locais.
Primeiro, vamos calcular a derivada .
Aplicando a regra da potência:
Simplificando:
Vamos igualar a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Além disso, a derivada não existe quando , mas já vimos que está no domínio.
Ponto crítico:

Passo 7

6. Valores críticos
Agora, vamos encontrar o valor de no ponto crítico :
Calculando:
Então,
Valor crítico:

Passo 8

7. Derivada segunda, concavidade e inflexão
Aderivada segunda nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.
Vamos calcular a derivada segunda .
Primeira derivada:
Derivando novamente:
Vamos analisar a concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Note que e são positivos para e negativos para .
Inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não existe.
Como não é zero para nenhum real e não existe em , temos uma possível inflexão em .

Resposta

Resumindo, o gráfico de possui:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Interseções: Corta os eixos e no ponto e em .
  • Simetria: Não possui.
  • Assíntotas: Não possui.
  • Ponto crítico: Em com valor .
  • Concavidade: A função é concava para cima e para baixo em diferentes intervalos, com um ponto de inflexão em .
Com todas essas informações, dá para esboçar o gráfico da função!

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