Esboce o gráfico das funções abaixo analisando: 1.Domínio, 2.Interseção com os eixos, 3.Simetria, 4. Assíntotas, 5.Pontos críticos, 6.Valores críticos, 7.Derivada segunda, concavidade e inflexão
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos analisar vários aspectos:
- Domínio: onde a função está definida.
- Interseção com os eixos: onde o gráfico cruza o eixo x e o eixo y.
- Simetria: se a função é par, ímpar ou não tem simetria.
- Assíntotas: linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca.
- Pontos críticos: onde a derivada é zero ou não existe.
- Valores críticos: os valores de
nos pontos críticos. - Derivada segunda, concavidade e inflexão: para entender a curvatura do gráfico.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos ver para quais valores de
a função está definida. Olhando para
, percebemos que o denominador
nunca é zero, porque
é sempre positivo ou zero, e somando 9 sempre dá positivo. Então, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Interseção com o eixo y: Para encontrar onde o gráfico corta o eixo y, colocamos
.
Então, a interseção com o eixo y é o ponto
.
Interseção com o eixo x: Para encontrar onde o gráfico corta o eixo x, colocamos
.
Portanto, a interseção com o eixo x também é o ponto
.
Passo 4
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Uma função é par se
e ímpar se
.
Calculemos
:
Como
, a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 5
Procura-se por linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca.
Assíntota horizontal: Olhando o comportamento de
para
indo para
e
:
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Assíntota vertical: Verificamos se o denominador pode ser zero. Já vimos que
nunca é zero, então não há assíntotas verticais.
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, calculamos a primeira derivada
e encontramos onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, derivamos
usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 7
Vamos encontrar o valor de
no ponto crítico:
Portanto, o valor crítico é
.
Passo 8
Vamos calcular a segunda derivada
para analisar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
A primeira derivada é:
Derivando novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
Concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos analisar
:
O denominador
é sempre positivo. Então, o sinal de
depende de
:
- Se
(ou seja, ), então → concava para cima. - Se
(ou seja, ), então → concava para baixo.
Ponto de inflexão: Onde a concavidade muda, ou seja, onde
:
Então, os pontos de inflexão são
e
.
Resposta
O gráfico da função
possui domínio em todos os números reais, intercepta os eixos no ponto (0, 0), é simétrico em relação ao eixo y, tem uma assíntota horizontal em
, possui um ponto crítico em (0, 0) que é um ponto de mínimo local, e apresenta concavidade para cima quando
e concavidade para baixo quando
, com pontos de inflexão em
.
Assim, o esboço do gráfico seguirá essas características detalhadas.