Esboce o gráfico das funções abaixo analisando: 1.Domínio, 2.Interseção com os eixos, 3.Simetria, 4. Assíntotas, 5.Pontos críticos, 6.Valores críticos, 7.Derivada segunda, concavidade e inflexão
d(x) = x^2 / (x^2 + 9)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos analisar vários aspectos:
  1. Domínio: onde a função está definida.
  2. Interseção com os eixos: onde o gráfico cruza o eixo x e o eixo y.
  3. Simetria: se a função é par, ímpar ou não tem simetria.
  4. Assíntotas: linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca.
  5. Pontos críticos: onde a derivada é zero ou não existe.
  6. Valores críticos: os valores de nos pontos críticos.
  7. Derivada segunda, concavidade e inflexão: para entender a curvatura do gráfico.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos ver para quais valores de a função está definida. Olhando para , percebemos que o denominador nunca é zero, porque é sempre positivo ou zero, e somando 9 sempre dá positivo. Então, o domínio é todos os números reais.
í

Passo 3

Interseção com o eixo y: Para encontrar onde o gráfico corta o eixo y, colocamos .
Então, a interseção com o eixo y é o ponto .
Interseção com o eixo x: Para encontrar onde o gráfico corta o eixo x, colocamos .
Portanto, a interseção com o eixo x também é o ponto .

Passo 4

Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Uma função é par se e ímpar se .
Calculemos :
Como , a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 5

Procura-se por linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca.
Assíntota horizontal: Olhando o comportamento de para indo para e :
Então, há uma assíntota horizontal em .
Assíntota vertical: Verificamos se o denominador pode ser zero. Já vimos que nunca é zero, então não há assíntotas verticais.

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, calculamos a primeira derivada e encontramos onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, derivamos usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 7

Vamos encontrar o valor de no ponto crítico:
Portanto, o valor crítico é .

Passo 8

Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
A primeira derivada é:
Derivando novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
Concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos analisar :
O denominador é sempre positivo. Então, o sinal de depende de :
  • Se (ou seja, ), então → concava para cima.
  • Se (ou seja, ), então → concava para baixo.
Ponto de inflexão: Onde a concavidade muda, ou seja, onde :
Então, os pontos de inflexão são e .

Resposta

O gráfico da função possui domínio em todos os números reais, intercepta os eixos no ponto (0, 0), é simétrico em relação ao eixo y, tem uma assíntota horizontal em , possui um ponto crítico em (0, 0) que é um ponto de mínimo local, e apresenta concavidade para cima quando e concavidade para baixo quando , com pontos de inflexão em .
Assim, o esboço do gráfico seguirá essas características detalhadas.

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