Esboce o gráfico e identifique como crescente ou decrescente as funções exponenciais:
f(×)=3×
f(×)=(1/2)×
f(×)=5×
f(×)=2-×
f(×)=3×
f(×)=(1/2)×
f(×)=5×
f(×)=2-×
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções exponenciais! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico de cada função e identificar se elas estão crescendo ou decrescendo. Pra isso, vamos usar os conceitos básicos de funções exponenciais, que envolvem entender como o número na base (como o 3 em
) afeta o comportamento da função.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função: $ f(x) = 3^x $.
Funções exponenciais têm a forma geral $ f(x) = a^x $, onde $ a $ é a base. Se $ a > 1 $, a função é crescente, ou seja, aumenta conforme $ x $ aumenta. No nosso caso, $ a = 3 $, que é maior que 1. Então, sabemos que $ f(x) = 3^x $ é uma função crescente.
Passo 3
Agora, a segunda função: $ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $.
Aqui, a base é $ \frac{1}{2} $, que é menor que 1. Quando a base de uma função exponencial está entre 0 e 1, a função é decrescente. Isso significa que, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ diminui. Portanto, $ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $ é uma função decrescente.
Passo 4
Vamos para a terceira função: $ f(x) = 5^x $.
A base aqui é 5, que é maior que 1. Como já vimos, quando a base é maior que 1, a função exponencial é crescente. Assim, $ f(x) = 5^x $ é uma função que cresce à medida que $ x $ aumenta.
Passo 5
Por último, temos a função: $ f(x) = 2^{-x} $.
Essa pode ser escrita como $ f(x) = \left(2\right)^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x $. Vimos no Passo 3 que se a base está entre 0 e 1, a função é decrescente. Então, $ f(x) = 2^{-x} $ também é uma função decrescente.
Resposta
Resumindo:
- $ f(x) = 3^x $ é crescente.
- $ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $ é decrescente.
- $ f(x) = 5^x $ é crescente.
- $ f(x) = 2^{-x} $ é decrescente.